95=k1+80， 解得k1=15，
∴y1=15x+80（x≥0）； 设y2=k2x，
把（1，30）代入，可得 30=k2，即k2=30， ∴y2=30x（x≥0）；
（2）当y1=y2时，15x+80=30x， 解得x=
；
当y1＞y2时，15x+80＞30x， 解得x＜
；
当y1＜y2时，15x+80＞30x， 解得x＞
；
小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于
小时，选择甲公司合算．
小时，选
∴当租车时间为
择乙公司合算；当租车时间大于
22．定义：如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上（P点与A、B两点不重合），如果△ABP的三边满足AP2+BP2=AB2，则称点P为抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的勾股点．
（1）直接写出抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标．
（2）如图2，已知抛物线C：y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于A，B两点，点P（1，
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）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ=S△ABP的Q点（异于点P）的坐标．
【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H8：待定系数法求二次函数解析式． 【分析】（1）根据抛物线勾股点的定义即可得； （2）作PG⊥x轴，由点P坐标求得AG=1、PG=
、PA=2，由tan∠PAB=
=
知∠PAG=60°，从而求得AB=4，即B（4，0），待定系数法求解可得； （3）由S△ABQ=S△ABP且两三角形同底，可知点Q到x轴的距离为得．
【解答】解：（1）抛物线y=﹣x2+1的勾股点的坐标为（0，1）；
，据此求解可
（2）抛物线y=ax2+bx过原点，即点A（0，0）， 如图，作PG⊥x轴于点G，
∵点P的坐标为（1，∴AG=1、PG=∵tan∠PAB=
，PA==
，
），
=
=2，
∴∠PAG=60°， 在Rt△PAB中，AB=∴点B坐标为（4，0）， 设y=ax（x﹣4）， 将点P（1，∴y=﹣
）代入得：a=﹣
x2+
， x；
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==4，
x（x﹣4）=﹣
（3）①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为则有﹣
x2+
x=
，
，
解得：x1=3，x2=1（不符合题意，舍去）， ∴点Q的坐标为（3，
）；
，
②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ=S△ABP知点Q的纵坐标为﹣则有﹣
x2+
x=﹣，x2=2﹣
， ， ，﹣
）或（2﹣
，﹣
）； ，﹣
解得：x1=2+
∴点Q的坐标为（2+
综上，满足条件的点Q有3个：（3，
23．问题背景
）或（2+）或（2﹣，﹣ ）．
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形． 类比探究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明． （2）△DEF是否为正三角形？请说明理由．
（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD=a，AD=b，AB=c，请探索a，b，c满足的等量关系． 【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）由正三角形的性质得出∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，证出∠
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ABD=∠BCE，由ASA证明△ABD≌△BCE即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠ADB=∠BEC=∠CFA，证出∠FDE=∠DEF=∠EFD，即可得出结论；
DG=（3）作AG⊥BD于G，由正三角形的性质得出∠ADG=60°，在Rt△ADG中，b，AG=
b，在Rt△ABG中，由勾股定理即可得出结论．
【解答】解：（1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下： ∵△ABC是正三角形，
∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，
∵∠ABD=∠ABC﹣∠2，∠BCE=∠ACB﹣∠3，∠2=∠3， ∴∠ABD=∠BCE， 在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE（ASA）；
，
（2）△DEF是正三角形；理由如下： ∵△ABD≌△BCE≌△CAF， ∴∠ADB=∠BEC=∠CFA， ∴∠FDE=∠DEF=∠EFD， ∴△DEF是正三角形；
（3）作AG⊥BD于G，如图所示： ∵△DEF是正三角形， ∴∠ADG=60°，
在Rt△ADG中，DG=b，AG=
b，
b）2，
在Rt△ABG中，c2=（a+b）2+（∴c2=a2+ab+b2．
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24．在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．
（1）如图1，当t=3时，求DF的长．
（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值．
（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）当t=3时，点E为AB的中点，由三角形中位线定理得出DE∥OA，DE=OA=4，再由矩形的性质证出DE⊥AB，得出∠OAB=∠DEA=90°，证出四边形DFAE是矩形，得出DF=AE=3即可；
DN⊥AB于N，（2）作DM⊥OA于M，证明四边形DMAN是矩形，得出∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，由平行线得出比例式
，
=
，由三角形中位线定
=，再由
理得出DM=AB=3，DN=OA=4，证明△DMF∽△DNE，得出三角函数定义即可得出答案；
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