《现代控制理论基础》第五章(讲义)
第六次课小结
一、 Lyapunov意义下的稳定性问题基本概念
? 平衡状态的概念
? Lyapunov意义下的稳定性定义（稳定，一致稳定，渐进稳定，一致渐进稳定，大范围渐进稳定等）
? 纯量函数的正定性，负定性，正半定性，负半定性，不定性 ? 二次型，复二次型（Hermite型）
二、 Lyapunov稳定性理论
? 第一方法 ? 第二方法
三、 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析
? 应用Lyapunov方程
A来进行判别稳定性
HP?PA??Q
四、 线性定常系统的稳定自由运动的衰减率性能估计
? 衰减系数，一旦定出?min，则可定出V(x)随时间t衰减上界。 ? 计算?min的关系式
五、 离散时间系统的状态运动稳定性及其判据
? 离散系统的大范围淅近稳定判据，Lyapunov稳定判据在离散系统中的应用
六、 线性多变量系统的综合与设计的基本问题
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? 问题的提法 ? 性能指标的类型 ? 研究的主要内容
七、极点配置问题
? 问题的提出 ? 可配置条件 ? 极点配置算法
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5.2.5 爱克曼公式(Ackermann’s Formula) 考虑由式（5.1）给出的系统，重写为
x??Ax?Bu
假设该被控系统是状态完全能控的，又设期望闭环极点为s??1,s??2,?,s??n。 利用线性状态反馈控制律
u??Kx
将系统状态方程改写为
x??(A?BK)x
(5.14)
定义
~A?A?BK
则所期望的特征方程为
~sI?A?BK?sI?A?(s??1)(s??2)?(s??n)?s?a1sn?n?1
???an?1s?an?0??~ 由于凯莱-哈密尔顿定理指出A应满足其自身的特征
方程，所以
~~n~*~n?1**?(A)?A?a1A???an?1A?anI?0 (5.15)
* 我们用式（5.15）来推导爱克曼公式。为简化推导，考虑n = 3的情况。需要指出的是，对任意正整数，下面
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的推导可方便地加以推广。 考虑下列恒等式
I?I~A?A?BK ~2~22A?(A?BK)?A?ABK?BKA~3~~2332A?(A?BK)?A?ABK?ABKA?BKA***** 将上述方程分别乘以a3并相加，,a2,a1,a0(a0?1)，
则可得
~~3*~2a3I?a2A?a1A?A**
~3?a3I?a2(A?BK)?a1(A?ABK?BKA)?A?
***2~~2?ABK?ABKA?BKA2***23***
~2?a3I?a2A?a1A?A?a2BK?a1ABK?a1BKA?ABK?~~2 ?ABKA?BKA （5.16）
参照式（5.15）可得
~~3*~2*~a3I?a2A?a1A?A??(A)?0
**也可得到
a3I?a2A?a1A?A??(A)?0
***23* 将上述两式代入式（5.16），可得
?(A)??(A)?a2BK?a1BKA?BKA?a1ABK?ABKA?ABK*~***~~2*~2
~ 由于?(A)?0，故
*
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~~2~*2?(A)?B(a2K?a1KA?KA)?AB(a1K?KA)?ABK~~2**?a2K?a1KA?KA???~2*?[B?AB?AB]?a1K?KA? （5.17）
??K??*** 由于系统是状态完全能控的，所以能控性矩阵
Q?[B?AB?AB]
2的逆存在。在式（5.17）的两端均左乘能控性矩阵Q的逆，可得
~~2?a2K?a1KA?KA???~2?1**[B?AB?AB]?(A)??a1K?KA?
??K??** 上式两端左乘[0 0 1]，可得
~~2**?a2K?a1KA?KA???~2?1**[001][B?AB?AB]?(A)?[001]?a1K?KA??K??K??
重写为
K?[001][B?AB?AB]?(A)
2?1* 从而给出了所需的状态反馈增益矩阵K。
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