《现代控制理论基础》第五章(讲义)
%possible***** %*****Obtain
the
desired
characteristic polynomial by defining
%the following matrix J and entering statement poly(J)*****
J=[-2+j*4 0 0;0 -2-j*4 0;0 0 -10]; Poly(J) ans=
1 14 60 200
%*****Compute the characteristic polynomial %Phi=polyvalm(poly(J),A)*****
Phi=polyvalm(poly(J),A);
%*****State feedback gain matrix K can be given by*****
K=[0 0 1]*(inv(Q))*Phi
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K= 199 55 8 %*****Hence, k1,k2,and k3 are given by***** k1=k(1),k2=k(2),k3=k(3) k1= 199 k2= 55 k3= 8 5.4 利用极点配置法设计调节器型系统
考虑如图5.2所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。
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图5.2 倒立摆系统
希望在有干扰（如作用于质量m上的阵风施加于小车的这类外力）时，保持摆垂直。当以合适的控制力施加于小车时，可将该倾斜的摆返回到垂直位置，且在每一控制过程结束时，小车都将返回到参考位置x = 0。 设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件（由干扰引起）时，用合理的阻尼（如对主导闭环极点有ζ=0.5），可快速地（如调整时间约为2秒）使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置（x = 0）。假设M、m和l的值
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为
M = 2千克， m = 0.1千克， l = 0.5米
进一步设摆的质量集中在杆的顶端，且杆是无质量的。 对于给定的角度θ和（/或）角速度??的初始条件，设计一个使倒立摆保持在垂直位置的控制系统。此外，还要求控制系统在每一控制过程结束时，小车返回到参考位置。该系统对初始条件的干扰有效地做出响应（所期望的角θd总为零，并且期望的小车的位置总在参考位置上。因此，该系统是一个调节器系统）。
这里，我们采用极点配置的状态反馈控制方法来设计控制器。如前所述，对任意极点配置的充要条件为系统状态完全能控。
设计的第一步是推导倒立摆系统的数学模型。
5.4.1 数学建模
我们首先推导了如下图5.a所示的倒立摆系统的数学模型。
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图5.a （a）倒立摆系统 (b)隔体受力图
结论：当角度θ不大时，描述系统动态特性的方程可以写为
???u(M?m)?x??ml????ml?(l?ml)?x??mgl?2
式中，I是摆杆围绕其重心的转动惯量。
推导过程：考虑上图（b）的隔体受力图，摆干绕其中心的转动运动可以用下式描述
???Vlsin??Hlcos?I?
摆干的水平运动可以写为
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