《现代控制理论基础》第五章(讲义)
对任一正整数n，有
K?[00?01][B?AB???An?1
B]?(A)?1* (5.18)
式（5.18）称为用于确定状态反馈增益矩阵K的爱克曼方程。
------------------------------------------------- [例5.1] 考虑如下线性定常系统
x??Ax?Bu
式中
10??0??A?001,?????1?5?6???0???B?0
????1?? 利用状态反馈控制u??Kx，希望该系统的闭环极点为s = -2±j4和s = -10。试确定状态反馈增益矩阵K。 首先需检验该系统的能控性矩阵。由于能控性矩阵为：
?02?Q?[B?AB?AB]?0???11??1?6
??631??0所以得出detQ = -1，因此，rankQ = 3。因而该系统是状态完全能控的，可任意配置极点。
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《现代控制理论基础》第五章(讲义)
下面，我们来求解这个问题，并用本章介绍的3种方法中的每一种求解。
方法1：第一种方法是利用式（5.13）。该系统的特征方程为：
?s?|sI?A|?0???13322?10s5???1?s?6???s?6s?5s?1?s?a1s?a2s?a3?0
因此
a1?6,a2?5,a3?1
期望的特征方程为
(s?2?j4)(s?2?j4)(s?10)?s?14s?60s?200?s?a1s?a2s?a3?03*2**32
因此
a1?14,a2?60,a3?200
***参照式（5.13），可得
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K?[200?1?60?5?14?6]?[199558]
方法2：设期望的状态反馈增益矩阵为
K?[k1k2k3]
并使|sI?A?BK|和期望的特征多项式相等，可得
00??010??s????|sI?A?BK|?0s0?001????0s???0????1?5?6???0????0[k1k2k3 ????1??s?0?10s?15?k2s?6?k31?k1 ?s3?(6?k3)s2?(5?k2)s?1?k1
?s?14s?60s?20032因此
6?k3?14,5?k2?60,1?k1?200
从中可得
k1?199,
k2?55,8
k3?8
《现代控制理论基础》第五章(讲义)
或
K?[199558]
方法3：第三种方法是利用爱克曼公式。参见式（5.18），可得
K?[001][B?AB?AB]?(A)
2?1* 由于
?(A)?A?14A?60A?200I
?0??0????1?0??600????110?510?50??0??1?140???6?????10??1??1?2000???6????0???117??3*3210?50100??1??6??0??0?1??2?199558???81597????7?43
且
?02?[B?AB?AB]?0???11??1?6
??631??0 9
《现代控制理论基础》第五章(讲义)
可得
?0?1]0???1?5?1]6???11??1?6??631??6100?1K?[00?199558??81597????7?43???117???[001??199558??0?81597??0?????7?43???117??
?[199558]显然，这3种方法所得到的反馈增益矩阵K是相同的。使用状态反馈方法，正如所期望的那样，可将闭环极点配置在s = -2±j4和s = -10处。
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应当注意，如果系统的阶次n等于或大于4，则推荐使用方法1和3，因为所有的矩阵计算都可由计算机实现。如果使用方法2，由于计算机不能处理含有未知参数
k1,k2,?,kn的特征方程，因此必须进行手工计算。
5.2.6 注释
对于一个给定的系统，矩阵K不是唯一的，而是依赖
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