《现代控制理论基础》第五章(讲义)
a1?0,a2??20.601,a3?0,a4?0
其次，选择期望的闭环极点位置。由于要求系统具有相当短的调整时间（约2秒）和合适的阻尼（在标准的二阶系统中等价于ξ= 0.5），所以我们选择期望的闭环极点为s??i(i =1,2,3,4），其中
?1??2?j23,?2??2?j23,?3??10,?4??10 在这种情况下，μ1，和μ2是一对具有ξ= 0.5和ωn = 4的主导闭环极点。剩余的两个极点μ3和μ4位于远离主导闭环极点对的左边。因此，μ3和μ4响应的影响很小。所以，可满足快速性和阻尼的要求。期望的特征方程为
(s??1)(s??2)(s??3)(s??4)?(s?2?j23)(s?2?j23)(s?10)(s?10)?(s2?4s?16)(s2?20s?100)?s?24s?196s?720s?1600?s?a1s?a2s?a3s?a4?04*3*2**432
因此
a1?24,*a2?196,*a3?720,*a4?1600
*现采用式（5.13）来确定状态反馈增益矩阵K，即
K?[a4?a4?a3?a3?a2?a2?a1?a1]P
?????1式中P由式（5.4）得到，即
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《现代控制理论基础》第五章(讲义)
P?QW
这里Q和W分别由式（5.5）和(5.6)得出。于是
?0Q?[B?AB?A2B?A3B]????1??0?a3a2a11??0?W??a2a110????20.604?a100????0?1?1000????1 变换矩阵P成为
?00?1?P?QW??000??9.810??0?9.81因此
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?10?20.601?0?20.6010??
0.500.4905???20.60101?010??100?000??0??1??0.50? 00.5?? 《现代控制理论基础》第五章(讲义)
P?1?0.5??9.81???0???1???00?0?10.59.810??0?9.81?1?0?
9.81??0?00??1故状态反馈增益矩阵K为
K?[a4?a4?a3?a3?a2?a2?a1?a1]P??1600?0720?0196?20.601?0.5??9.81??24]0???1???0****?124?0?P?10?0?10.59.8100??[1600720216.60??9.81?1?0?9.81??0? 0??01?[?298.1504?60.6972?163.0989?73.3945]
反馈控制输入为
u??Kx?298.1504x1?60.6972x2?163.0989x3?73.3945x4
注意，这是一个调节器系统。期望的角θd总为零，且期望的小车的位置xd也总为零。因此，参考输入为零（将在5.6节考虑有参考输入时，对应的小车的运动问题）。图5.3为用于倒立摆系统的状态反馈控制结构图（因
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《现代控制理论基础》第五章(讲义)
为该系统中的参考输入总为零，所以在图中没有画出）。
图5.3 具有线性状态反馈控制的倒立摆系统
5.4.2 利用MATLAB确定状态反馈增益矩阵K
MATLAB Program 5.3是一种能求出所需状态反馈增益矩阵K的MATLAB程序。
MATLAB Program 5.3 %-------Design of an inverted pendulum control system-------- 34
《现代控制理论基础》第五章(讲义)
%*****This program determines the state-feedback gain
%matrix K = [k1,k2 k3 k4] by use of Ackermann’s %formula*****
%*****Enter matrices A,B,C,and D*****
A=[0 1 0 0; 20.601 0 0 0; 0 0 0 0; -0.4905 0 0 0]; B=[0;-1;0;0.5]; C=[1 0 0 0; 0 0 1 0]; D=[0;0];
%*****Define the controllability 35