《现代控制理论基础》第五章(讲义)
mddt22(x?lsin?)?H
摆干的垂直运动为
mddt2(lcos?)?V?mg
小车的水平运动为
2dxM?u?H2dt
当?很小时，上述四个运动方程可以分别线性化为
???Vl??HlI???l?)?Hm(?x0?V?mg （5.a） (5.b)
(5.c) (5.d)
M?u?H将(5.b)和(5.d)两边相加得：
(M??u?H?m)?x
由(5.a),(5.b)和(5.c)可得
???mgl??lm(???l?) I?x整理得
???ml???mgl?(I?ml2)?x
这样，我们就得到了倒立摆的运动方程。
我们在来研究图5.2的倒立摆系统。由于该系统的质量集
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《现代控制理论基础》第五章(讲义)
中在杆的顶端，所以重心就是摆球的中心。在分析中，假设摆围绕其重心的转动惯量为零，即I = 0。那么，其数学模型为
(M?m)?x??ml??u
2??ml??ml?x??mgl?
(5.19) (5.20)
式（5.19）和(5.20)定义了如图5.2所示的倒立摆系统的数学模型（只要θ不大，线性化方程就是有效的）。 式（5.19）和（5.20）可改写为
???(M?m)g??u Ml?(5.21) (5.22)
M?x??u?mg?
式（5.21）可由式（5.19）和(5.20)消去?x?得到。 式（5.22）可由式（5.19）和（5.20）消去???得到。从式（5.21）可得系统的传递函数为
?(s)?U(s)?1Mls2?(M?m)g
代入给定的数值，且注意到g = 9.81米/秒2，可得
?(S)?U(s)?1s?20.6012?1s?(4.539)22
显然，该倒立摆系统在负实轴上有一个极点（s = -4.539），另一个极点在正实轴上（s = 4.539），因此，
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《现代控制理论基础》第五章(讲义)
该系统是开环不稳定的。 定义状态变量为
x1??x2???x3?xx4?x?
注意，θ表示摆杆围绕点P的旋转角，x表示小车的位置，将θ和x作为系统的输出，即
?y1?????x1?y?????????
?y2??x??x3? 又由于θ和x均是易于量测的量。由状态变量的定义和
式（5.21）和（5.22），可得
??xx12?x2?M?mMlgx?u1Ml1??xx34?x4??gx?u1MMm1
以向量-矩阵方程的形式表示，可得
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《现代控制理论基础》第五章(讲义)
0??1??M?m?xg???x?2????ml?3??0?x????4??m?x?g??M100000000??0??x1??10???????x2???Ml1??x3??0?????x4??1?0????M????u?????
(5.23)
?x1???0?x2?? ?0??x3????x4??y1??1?????y2??00001(5.24)
式（5.23）和（5.24）给出了该倒立摆系统的状态空间表达式（注意，该系统的状态空间表达式不是唯一的，存在无穷多个这样的表达式）。
代入给定的M、m和l的值，可得
M?mMlg?20.601,mMg?0.4905,1Ml?1,1M?0.5
于是，式（5.23）和（5.24）可重写为
x??Ax?Buy?Cx
式中
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《现代控制理论基础》第五章(讲义)
1?0?20.601A??0?0???0.490500000010??0????0?1?1?,B???,C????0??0???0?0.5??00010??0?
采用下列线性状态反馈控制方案
u??Kx
为此首先检验该系统是否状态完全能控。由于
?0??123Q?[B?AB?AB?AB]???0??0.5?20.601??0?20.6010?0.500.4905??00.49050??10
的秩为4，所以系统是状态完全能控的。 系统的特征方程为
?10?s??20.601s|sI?A|??0s?0?0?0..49050?s?20.601s34220??00??1??s?
?s4?a1s?a2s?a3s?a4?0因此
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