《趣味数学》目录
第1课时 集合中的趣题—“集合”与“模糊数学?????? 2 第2课时 函数中的趣题— 一份购房合同?????????? 3 第3课时 函数中的趣题—孙悟空大战牛魔王???????? 4 第4课时 三角函数的趣题—直角三角形?????????? 6 第5课时 三角函数的趣题—月平均气温问题???????? 7 第6课时 数列中的趣题—柯克曼女生问题????????? 9 第7课时 数列中的趣题—数列的应用??????????? 11 第8课时 不等式性质应用趣题―两边夹不等式的推广及趣例?? 13 第9课时 不等式性质应用趣题―均值不等式的应用?????? 15 第10课时 立体几何趣题—正多面体拼接构成新多面体面数问题? 16 第11课时 立体几何趣题—球在平面上的投影????????? 19 12课时 解析几何中的趣题―神奇的莫比乌斯圈???????? 21 13课时 解析几何中的趣题―最短途问题??????????? 22 14课时 排列组合中的趣题―抽屉原理???????????? 23 15课时 排列组合中的趣题―摸球游戏???????????? 24 第16课时 概率中的趣题?????????????????? 25 第17课时 简易逻辑中的趣题???????????????? 28 第18课时 解数学题的策略?????????????? 31
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第1课时 集合中的趣题—— “集合”与“模糊数学”
教学要求：启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造
地解决问题；
教学过程：
一、 情境引入
1965年，美国数学家扎德发表论文《模糊集合》，开辟了一门新的数学分支——模糊数 学。
二、 实例尝试，探求新知
模糊数学是经典集合概念的推广。在经典集合论当中，每一个集合都必须由确定的元素构成，元素对于集合的隶属关系是明确的，这一性质可以用特征函数：
?A?x???1,(x?A)0,(x?A)来描述。扎德将特征函数
?A(x)改成所谓的“隶属函数”
?A(x):0??A(x)?1,，这里A称为“模糊函数”，?A?x?称为x对A的“隶属度”。
?A?x?=1经典集合论要求隶属度只能取0，1二值，模糊集合论则突破了这一限制，
时表示百分之百隶属于A；?A?x?=0时表示不属于A还可以有百分之二十隶属于A，百分之八十不隶属于A??等等，这些模糊集合为对由于外延模糊而导致的事物是非
判断上的上的不确性提供了数学描述。由于集合论是现代数学的重基石,因此,模糊数学的概念对数学产生了广泛的影晌，人们将模糊集合引进数学的各个分支，从而出现了模糊拓扑、模糊群论、模糊测度与积分、模糊图论等等，它们一起形成通常所称的模糊数学， 模糊数学是20世纪数学发展中的新新事物，它在理论上还不够成熟，方法上也未臻统一，它将随着计算机科学的发展而进一步发展。
例1、学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参加，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参加，那么这两次运动会这个班共有多少名同学参赛？
⑴如果有5名同学两次运动会都参加了，问这两次运动会这个班共有多少名同学参赛？
⑵如果每一位同学都只参加一次运动会, 问这两次运动会这个班共有多少名同学参赛？
解析：可能有的同学两次运动会都参加了，因此，不能简单地用加法解决这个问题。
（1） 因为这5名同学在统计人数时，计算了两次，所以要减去．8 + 12 – 5 = 15． （2） 8 + 12 = 20.这两次运动会这个班共有20名同学参赛. 三、 本课小结
通过“模糊数学”了解到数学的发展是靠坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习
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态度和勇于创新的精神而进步的。 四、 作业
下列各组对象能否形成集合？（1）高一年级全体男生；（2）高一年级全体高个子男生；（3）所有数学难题；（4）不等式x?2?0的解；
第2课时 函数中的趣题——
一份购房合同
教学要求：能利用一次函数及其图象解决简单的实际问题，发展学生数学应用能力. 教学过程：
一、 情境引入
最早把\函数\（function）这个词用作数学术语的数学家是莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716，德国数学家），但其含义和现在不同，他把函数看成是\像曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长度、垂线长度等所有与曲线上的点有关的量\年，瑞士数学家约翰。贝努利（John Bernoulli，1667-1748，欧拉的数学老师）将函数概念公式化，给出了函数的一个定义，同时第一次使用了\变量\这个词。他写到：\变量的函数就是变量和变量以任何方式组成的量。\他的学生，瑞士数学家欧拉（Leonard Euler，1707-1783，被称为历史上最\多产\的数学家）将约翰。贝努利的思想进一步解析化，他在《无限小分析引论》中将函数定义为：\变量的函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成的解析表达式\，欧拉的函数定义在18世纪后期占据了统治地位。 二、 实例尝试，探求新知
例1、陈老师急匆匆的找我看一份合同，是一份下午要签字的购房合同。内容是陈老师购买安居工程集资房72m2,单价为每平方米1000元，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担。房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为一年，等额付款，分付10次，10年后付清，年利率为7.5%, 房地产开发公司要求陈老师每年付款4200元，但陈老师不知这个数是怎样的到的。同学们你们能帮陈老师算一算么？
解析：陈老师说自己到银行咨询，对方说算法是假设每一年付款为a元,那么10年后第一年付款的本利和为1.0759a元，同样的方法算得第二年付款的本利和为1.0758a元、第三年为1.0757a元，?，第十年为a元，然后把这10个本利和加起来等于余额部分按年利率为7.5%计算10年的本利，即1.0759a+1.0758a+1.0757a+?+a
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=(72×1000-28800-14400)×1.075,解得的a的值即为每年应付的款额。他不能理解的是自己若按时付款，为何每期的付款还要计算利息？我说银行的算法是正确的。但不妨用这种方法来解释：假设你没有履行合同，即没有按年付每期的款额，且10年中一次都不付款，那么第一年应付的款额a元到第10年付款时，你不仅要付本金a元，还要付a元所产生的利息，共为1.0759a元，同样，第二年应付的款额a元到第10年付款时应付金额为1.0758a元，第三年为1.0757a元，?，第十年为a元，而这十年中你一次都没付款，与你应付余款72×1000-28800-14400在10年后一次付清时的本息是相等的。仍得到1.0759a+1.0758a+1.0757a+?+a =(72×1000-28800-14400)×1.07510．用这种方法计算的a值即为你每年应付的款额。
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例2、经调查得知，若我们把每日租金定价为160元，则可客满；而租金每涨20元，就会失去3位客人。每间住了人的客房每日所需服务、维修等项支出共计40元。我们该如何定价才能赚最多的钱？
解析：日租金360元。虽然比客满价高出200元，因此失去30位客人，但余下的50位客人还是能给我们带来360*50=18000元的收入；扣除50间房的支出40*50=2000元，每日净赚16000元。而客满时净利润只有160*80-40*80=9600元 三、 本课小结
通过本课学习我们认识到，生活是多面的，我们在研究一个问题时，可以多角度、多层次的思考，如若正面不行，亦可利用反面思考 四、 作业
家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式Q?Q0e?0.0025t，其中Q0是臭氧的初始量，t是所经过的时间．
1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？ 2）多少年后将会有一半的臭氧消失？
第3课时 函数中的趣题——
孙悟空大战牛魔王
教学要求：体会数学在实际问题中的应用价值． 教学过程：
一、 故事引入
孙悟空大战牛魔王。牛魔王不是孙悟空的对手，力倦神疲，败阵而逃。可是，牛魔王不简单，他会变。他见悟空紧紧追赶，便随身变成一只白鹤，腾空飞去。悟空一见，立刻变成一只丹凤，紧追上去。牛魔王一想：凤是百鸟之王，我这只白鹤那里斗得过这个丹凤？！他无可奈何，只好飞下山崖，变作一只香獐，装着悠闲的样子，在崖前吃草。悟空心里想：好牛精，你休想混过我老孙的火眼金睛！他马上变作一只饿虎，猛扑过去。牛魔王心慌，赶快变了个狮子，来擒拿饿虎。悟空看得分明，就地一滚，变成一只巨象，撒开长鼻，去卷那头狮子。牛魔王拿出绝招，现出原形，原来是一头大白牛。这白牛两角坚似铁塔，身高八千余丈，力大无穷。他对悟空说：“你还能把我怎样？”只见悟空弯腰躬身，大喝一声“长”！立即身高万丈，手持大铁棒朝牛魔王打去。牛魔王见势不妙，只好复了本象相，急忙逃去。孙悟空与牛魔王杀得惊天动地，惊动了天上的众神，前来帮助围困牛魔王。牛魔王困兽犹斗，又变成一头大白牛，用铁角猛顶托塔天王，被哪吒用火轮烧得大声吼叫，最后被天王用照妖镜照定，动弹不得，只得连声求饶，献出芭蕉扇，扇灭火焰山烈火，唐僧四人翻越山岭，继续往西天取经
二、 实例尝试，探求新知
这段故事很吸引人，而且它和初中代数中所学的函数概念有关。
首先，就从这个“变”字谈起。孙悟空和牛魔王都神通广大，都能变。他们能变
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飞禽、走兽；大喝一声，身躯能“顶天立地”，也可变成一个小虫儿。当然，这些都是神话，不是真情实事。不过，世界上一切事物的确无有不在变化着的。既然物质在变化，表示它们量的大小的数，自然也要随着而变化了。这就告诉我们，要从变化的观点来研究数和量以及它们之间的关系。
其次，我们再来看一看，是不是所有的量在任何情况下，都始终变化着的呢？不是的。研究问题的某个特定过程中，在一定的范围内，有的数量是保持不变的。或者，虽然它也在变，但变化微小，我们把它看成是不变的。还是用唐僧师徒来做例子。孙悟空的本事最大，能七十二变；唐僧最没用，一点也不会变，所以妖怪一看就认得他。都想吃他的肉。在代数中，把研究某一问题过程中不断变化着的量叫做变量，孙悟空就好象是一个“变量”；把一定范围内保持不变的量叫做常量，唐僧就好象是一个“常量”。 例1、1202年，意大利比萨的数学家斐波那契(约1170年～约1250年)在他所著的《算盘书》里提出了这样一个有趣的问题：假定1对一雌一雄的大兔，每月能生一雌一雄的1对小兔，每对小兔过两个月就能长成大兔。那么，若年初时有1对小兔，按上面的规律繁殖，并且不发生死亡等意外情况，1年后将有多少对兔子？
解析：第一个月时，有小兔1对；第二个月时，小兔还没有长大，因此兔子数仍是1对；第三个月时，小兔已长成大兔，并且生下1对小兔，这时兔子数是2对；第四个月时，原来的兔子又生了1对小兔，但上个月刚生的小兔尚未成熟，这时兔子数是3对；第五个月时，原来的兔子又生了1对小兔，第三个月出生的小兔这时也已长大并且也生了1对小兔，因此共有兔子5对；一直这样推算下去，可以得到下面的表：如果仔细观察，就不难发现其中的规律：从第三个月份起，每个月的兔子对数都
是前两个月的兔子对数之
和。表中兔子对数构成的一列数1，1，2，3，5，8?就称为斐波那契数列。斐波那契数列有很有趣的性质和重要的应用。
例2、某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
解析：假设果园增种x棵橙子树,果园橙子的总产量为y(个)，依题意，果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子.
y=(100+x)(600-5x) =-5x2+100x+60000. =-5(x-10)^2+60500 即种：100+10=110棵时，产量最高是：60500 三、本课小结
通过本课学习我们知道了，不仅《西游记》和我们的数学还很有关系其实，只要我们留意，到处都充满着数学的原理。 四、作业
某市20名下岗职工在近郊承包50亩土地办农场这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表： 作物品种 每亩地所需职工数 每亩地预计产值 蔬菜 1/2 1100元 烟叶 1/3 750元 小麦 1/4 600元
请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20名职工都有工作，且使农作物预计总产值最多。（设工人数）
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