第4课时 三角函数的趣题—
直角三角形
教学要求：探索直角三角形在生活中应用，进一步体会三角函数在解决问题过程中的
应用。
教学过程：
一、 情境引入
直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等. 二、 例题分析
例1、海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?
解析：过A作BC的垂线，交BC于点D.得到Rt△ABD和Rt△ACD，从而BD=AD tan55°，CD＝ADtan25°，由BD-CD＝BC，又BC＝20海里.得 ADtan55°-ADtan25°＝20. AD(tan55°-tan25°)＝20， AD=
20tan55??tan25?≈20.79(海里).
这样AD≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险
例2、如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.
(1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.
(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?
6
解析：(1)过点B作BD⊥AC.垂足为D.
依题意，得∠BAC＝30°，在Rt△ABD中，BD=
12AB=
12×20×16=160＜200，
∴B处会受到台风影响. (2)以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC于E、F，由勾股定理可求得DE=120. AD=160
3.
3 AE=AD-DE=160 ∴
1603?12040 -120，
=3.8(小时).
因此，陔船应在3.8小时内卸完货物.
练习：一个人从山底爬到山顶，需先爬40°的山坡300 m，再爬30°的山坡100 m，求山高.(结果精确到0.01 m) 三、 本课小结
本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和
解决实际问题的能力. 四、 作业 如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号)
第5课时 三角函数的趣题—
月平均气温问题
教学要求：选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数
学、学好数学的欲望.
7
教学过程：
一、 谈话导入
数学的应用，随着人类的进步和科技的发展，已经渗透到社会的各个方面，“数学已无处不在”。下面我们看看三角函数在生活中有哪些应用。 二、典例分析
例1、受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞，卸货后落潮时返回海洋，某港口水的深度y（米）是时间t（，单位：时）的函数，记作y=f(t)，下面是该港口在某季节每天水深的数据。 t（时） 0 3 6 9.9 12 15 18 21 7.0 24 10.0 y（米） 10.0 13.0 10.0 13.0 10.1 根据数据求出y=f(t)的拟合函数，，一般情况下，船舶航行时，船
底离海底的距离为5米或5米以上时，认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停留多少时间？（忽略进出港所需时间）
解析：依题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5米，3
，2
1，
或
，得12
，
，在同一天内，取k=0或
，所以该船最早能在凌晨1时进港，下午17时
退出，在港口内最多停留16小时。
例2、某工厂因生产需要，要生产1200个如图形状的三角形铁片，已知在△ＡＢＣ中，确到1cm2）.
，问要生产这些三角形铁片共需要铁片的面积（精
解析：∵ sinＡ+cosＡ= ∴ ２sinＡcosＡ＝－
， ① ∴ （sinＡ+cosＡ）２＝.
. ∵ 0°＜Ａ＜１８０°，∴ sinＡ＞０，cosＡ＜0.
∵ （sinＡ-cosＡ）２=1-２sinＡcosＡ=， ∴ sinＡ-cosＡ＝
. ②
8
①+②，得sinＡ=
，
∴ 要生产这些三角形铁片共需要铁片的面积为：
答：所以要生产这些三角形铁片共需要铁片的面积约3477cm2. 三、本课小结
三角函数不但应用于数学的各个分支,也广泛应用于其他的学科及社会生产实践中, .在实际生活中,也会经常碰到一些需要运用三角函数来解决的问题,特别是一些线段的度量和角的计算等问题我们要灵活运用 四、 作业
把一段半径为R的圆木，锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法，才能使横截面积最大？
第6课时 数列中的趣题—
柯克曼女生问题
教学要求: 通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性． 教学过程：
一、问题引入：
有一个学校有15个女生，她们每天要做三人行的散步，要使每个女生在一周内的每天做三人行散步时，与其她同学在组成三人小组同行时，彼此只有一次相遇在同一小组，应怎样安排？ 二、 典例分析
例1、大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设在第k层的临时会议室开会，问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）
分析：设相邻两层楼梯长为a，则
S?a[(1?2????k?1)?0?(1?2????(n?k))]?a[k2?(n?1)k?n2?n2
](1?k?n)分n为奇数和n为偶数两类讨论. 例2、某地区荒山2200亩，从1995年开始每年春季在荒山植树造林，第一年植树100
亩，以后每一年比上一年多植树50亩.
（1）若所植树全部都成活，则到哪一年可将荒山全部绿化?
9
（2）若每亩所植树苗、木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率为20%，
那么全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为S，求S的表达式. （3）若1.28≈4.3，计算S（精确到1立方米）.
分析：由题意可知，各年植树亩数为：100，150，200，??成等差数列
? 三、本课小洁：下面回到课前问题，设１５位女生用下面１５个符号表示：x , a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 , d1 , d2 , e1 , e2 , f1 , f2 , g1 ,g2 ;将它们排成七行，每天五个三人行小组（共十五人），使ｘ处于七行中的最前一位置上：(x,a1,a2); (x,b1,b2); (x,c1,c2); (x,d1,d2); (x,e1,e2); (x,f1,f2);(x,g1,g2). 于是只须分配１４个元素，再每一行中，后继三人行小组，即对有下标的七个元素ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇ进行三元素组合，填入每行，但每个字母只许出项两次。即
Sunday: (x,a,a), (b,d,f), (b,e,g), (c,d,g),(c,e,f); Monday: (x,b,b), (a,b,e), (a,f,g), (c,d,g),(c,e,f); Tuesday: (x,c,c), (a,d,e), (a,f,g),(b,d,f),(b,e,g); Wednsday:(x,d,d), (a,b,c), (a,f,g),(b,e,g),(c,e,f); Thursday: (x,e,e), (a,b,c), (a,f,g),(b,d,f), (c,d,g) Friday: (x,f,f), (a,b,c), (a,d,e), (b,e,g),(c,d,g); Saturday:(x,g,g), (a,b,c), (a,d,e),(b,d,f), (c,e,f) 现在来填下标，如果在同一行中，可以有两个相同字母，例如在第三行中bdf,beg中，b出现两次，可标上不同的脚标b1,b2;若每一个“三人行”，有两个脚标已定，则在同一行，别的三人行组不能再用；若不是由两种原则定出脚标，就定为１。得到解：
Sunday: (x,a1,a2), (b1,d1,f1), (b2,e1,g1),(c1,d2,g2), (c2,e2,f2); Monday: (x,b1,b2), (a1,b2,e2), (a2,f2,g2),(c1,d1,g1), (c2,e1,f1); Tuesday: (x,c1,c2), (a1,d1,e1), (a2,f1,g1),(b1,d2,f2),(b2,e2,g2); Wednsday:(x,d1,d2), (a1,b2,c2), (a2,f2,g1),(b2,e1,g2),(c1,e2,f1); Thursday: (x,e1,e2), (a1,b1,c1),(a2,f1,g2), (b2,d1,f2), (c2,d2,g1) Friday: (x,f1,f2), (a1,b2,c1), (a2,d2,e1),(b1,e2,g1), (c2,d1,g2); Saturday:(x,g1,g2), (a1,b1,c2), (a2,d1,e2),(b2,d2,f1), (c1,e1,f2) 三、 作业
某林场有荒山3250亩，从96年开始，每年春季在荒山上植树造林，第一年植100亩，计划以后每年比上一年多植树50亩(假定全部成活)． (1)需几年可将此荒山全部绿化. (2)已知新植树苗每亩木材量为2ｍ3，树木每年的自然增长率为10%，设荒山全部绿化后的年底木材总量为S，求S的最简表达式
10