第7课时 数列中的趣题—
数列的应用
教学要求：培养学生的创新精神和创造能力。它要求教师给学生提供研究的问题及背
景，让学生自主探究知识的发生发展过程
教学过程： 一、诗词引入
先由杜甫的诗《绝句》引出课题，每一句都与数有关系。再由一些生活中的例子进一步探索数列的定义及其蕴含的数量关系 二、典例分析 例1、、有一序列图形P1,P2,P3??.已知P1是边长为1的等边三角形，将P1的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得P2，?..，将Pk-1的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得Pn试分别求Pn的周长Cn和面积Sn.
解析：这序列图形的边数构成的数列为：3,3?它们的边长构成的数列为：1,13n?1n?14,3?4,?,3?42n?1,?;
133,12,?,13n?1,?.
?Cn??3?4?4??3????3?S19n?1.
S2比S1多3个面积为
S19S19?2的正三角形.即
S2?S1?S3?S2??3,同理，?12,
11
Sn?Sn?1?S19n?1?3?40n?2,累加得：1n?2Sn?S1S1??4?????3??9??34?4??4??????????9??9?3??4???8?3??20??9???S15??4????1?????39??9????n?1??. ??n?1又S1?,所以Sn??.??例2．在［1000，2000］内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？
解析：不妨设an?3n,bm?4m?1(m,n?N)*，
则{cp}为{ an }与{ bn }的公共项构成的等差数列 (1000≤cp≤2000) ∵an = bm ,即：3n=4m+1 令n=3 , 则m=2 ∴c1=9且有上式可知：d=12 ∴cp=9+12(p?1) ( p?N*) 由1000≤cn≤2000解得：83712?p?1661112
∴p取84、85、??、166共83项。
三、本课小结
根据数列的定义和前面所学的函数关系，由学生自己通过联想、类比、对比、归纳的方法迁移到新情境中，将新的知识内化到学生原有的认知结构中去。 四、作业
1.一梯形两底边长分别为12cm22cm，将梯形一腰10等分，经过每分点作平行于底边的直线，求这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度和.
2.某化工厂生产一种溶液，按市场的要求杂质含量不能超过0.1%.若初时含杂质0.2%，每过滤一次可使杂质减少，问至少过滤多少次才能使产品达到市场的要求
31
12
第8课时 不等式性质应用趣题―
“两边夹不等式”的推广及趣例
教学要求：理解“两边夹不等式”的推广及应用
教学过程：
一、情境引入
大家都熟知等比定理：若等式，如且bcabab?cdab?cd，则
ab?a?cb?d?cd。若将条件中的等式改为不
，那么结论如何呢?课本上有这样一道练习：已知a,b,c,d都是正数，
ab?a?cb?d?cd?ad，则
cd(高中数学第二册(上)(人教版))，在平时的教学过程中，
稍不注意，其丰富的内涵和研究价值便被忽略了。下面为了说明问题的方便，称不等式
?a?cb?d?为两边夹不等式。 当然这个不等式的证明是简单的，而探讨这个
不等式却别有一番风味．对该不等式的探讨是从它的一个简单应用开始的．
二、“两边夹不等式”理解推广 1、两边夹不等式的两种理解
解：（1）实际意义的理解：有同种溶液(如糖水)A、B，已知溶液A的浓度为液B的浓度
cdab，溶
，现将两种溶液混合成溶液C，此时溶液浓度为
ab?a?cb?d?cda?cb?d，由日常生
活经验知道有。
（2）几何意义的理解：由分式联想到直 线的斜率，设
?OA?(b,a)?OB?(d,c)，
则直线OA、(如图1)，则
OB斜率分别是
ab，
cd??OA?OB?(b?d,a?c)，它表示图中的
?OC,显然直线OC的斜率介于OA、OB
ab?a?cb?d?cd的斜率之间，即。
13
???进一步探讨我们还可以得到更多的结论，如OD?OA?2OB?(b?2d,a?2c)得
到不等式
ab?abababa?2cb?2d???a?cb?da?cb?d???cd，仿此还可到几个不等式链：
??cda?3cb?3d3a?c3b?d??????????a?ncb?ndna?cnb?dN?（1）（2）（3）
a?2cb?2d2a?c2b?d???????????????cdcd
ma?ncmb?nd（其中m,n?）
2．两边夹不等式的一个简单应用
练习1、 利用此不等式，可以轻松地证明下面这个经典不等式：已知a,b,m都是正数，且a分析：??b，求证：，?abab?a?mb?mmm。
ab?a?mb?ma?b?1?，由．
3．两个有意义的推广
推论1(等比定理的推广)：已知ain,bi?R(i?1,2,3,?，n)?，若
a1b1?a2b2???anbn，
则
a1b1??i?1nai?bianbn。
?i?1利用两边夹不等式可以容易得到证明，这里从略。
由于分数的分子分母同乘以一个非零实数，分数的值不变，那么将分母各乘以非零实数?1，?2又有什么结论呢?
推论2(一般性推广)：若正数a,b,c,d及非零实数?1，?2满足
ab?ab与
cd的分子
ab?cd，则
?1a??2c?1b??2d?cd
?1a?1bcd证明：?ab?,??2c?2d，
ab?cdab
?1a??2c?1b??2dcd?由两边夹不等式立即得
??
练习2、无限夹数游戏
(1)给你任意两个正分数，你能写出大小介于它们之间的一些数吗?
14
如与
32538371121，与
3122512125，
25与
12等。
依据两边夹不等式可以得到 介于与
3之间， 之间， 之间。
介于与
31介于
25与
三、本节小结：本节主要讲了两边夹不等式几何意义理解及两种推广 。 四、作业：探求“黄金分割数”
在0、l之间用两边夹不等式可以依次写出一些数，写这些数时按以下的规律进行：第一个数为a1?12，此时得到两个区间A1=（0，
2312），B1=(
12,1)在区间B1
内利用两边夹不等式得到第二个数a2=A2=(
12，23；此时a2又将区间B1分成两个区间
3),B2=(
23,1)在区间A2中利用两边夹不等式得到第三个数a=，依此类推，
55?12可以得到数列{an}，数列{an}的极限称为黄金分割数，求此极限。(
n???liman?)
第9课时 不等式性质应用趣题―
均值不等式的应用
教学要求：了解均值不等式在日常生活中的应用
教学过程： 一、情境引入；
日常生活中常用的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式和平均值不等式。前两类不等式的应用与其对应函数及方程的应用如出一辙，而平均值不等式在生产生活中
起到了不容忽视的作用。下面，我主要谈一下均值不等式和均值定理的应用。
15