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30、有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图甲），连结BD、
MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．
⑴试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由；
CD
ME
BFA
图甲
⑵小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图乙），设旋转角为β(0°＜β＜ 90°), 当△AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数； D
D1 MB1 K
BFA
图乙
⑶若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图丙），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离是多少？
D
M2 M
NBA2PA图丙
F2F（版权所有） 13713807345 2数学教室* 李雄老师
31、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
32、在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y?x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y?x于点M，BC边交x轴于点N（如图）.
（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数； （3）设?MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.
B E A D
A G G E F E F D
A D
C F 第31题图①
B 第31题图②
C B 第31题图③
C y y?x A M B O C (第32题)
N x
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33、对于一张正方形纸片ABCD，现要沿着它上面的一条线段剪去一个三角形，把该纸片裁成两个多边形，然后把这
两个多边形拼成一个新的凸多边形。（即多边形总在任何一条边所在直线的同一侧）
操作示例：将正方形纸片ABCD按图1所示，沿AE剪开，裁掉△AED后，将它绕点A顺时针旋转90°拼接到△ABF的位置，由AD=AB，和∠ADE=∠ABC=90°可知，拼接成的图形AFCE是四边形。实践探究： ⑴将正方形纸片ABCD裁去一个三角形后剩下的多边形可能是 。 ⑵请你在图2~图4中分别画出将正方形ABCD剪拼成三角形、梯形、五边形的示意图。 拓展反思：
小明说：“这样裁剪所能拼成的多边形的最多边数为6”，请你运用多边形的内角和知识分析这句话的正确性，并在图5中画出剪拼示意图。 34、（1）在图1作图演示将直角三角形ABC裁剪成两块，并拼成一个矩形。
探究当直角三角形ABC满足 ，可拼成一个正方形。 （2）在图2作图演示将?ABC裁剪成两块，并拼成一个平行四边形。
探究当?ABC满足 ，可拼成一个菱形。 （3）在图3作图演示将直角梯形ABCD裁剪成两块，并拼成一个矩形。
探究当直角梯形ABCD满足 ，可拼成一个正方形。 （4）在图4作图演示将梯形ABCD裁剪成两块，并拼成一个平行四边形。
探究当梯形ABCD满足 ，可拼成一个菱形。 （5）在图5作图演示将梯形ABCD裁剪成两块，并拼成一个三角形。
探究当梯形ABCD满足 ，可拼成一个直角三角形； 探究当梯形ABCD满足 ，可拼成一个等腰三角形； 探究当梯形ABCD满足 ，可拼成一个等边三角形。
（6）在图6作图演示将梯形ABCD裁剪成两块，并拼成一个等腰梯形。 (以上探究请在空白处作图说明)
BBBCBCBCBC
图1 图2 图3 图4 图5 图6
ACACADADADAD
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35、如图，点O是等边三角形ABC的外接圆的圆心，∠MON=120°，且∠MON绕顶点O旋转，这个角的两边与△ABC
的两边AB、BC分别交于M、N两点，随着∠MON的旋转，M、N两点的位置也在变化，取变化过程中点M、N两次静止的状态，如图1和图2.
⑴试用刻度尺在图1和图2中分别量得OM、ON的长度，猜测OM、ON的数量关系，并借助图2说明理由。
⑵在图3中，∠MON的两边与边CB、AC的延长线分别交于P、Q两点，猜测OP、OQ存在怎样的数量关系，并说明理由。
36、如图，两个全等的正六边形ABCDEF、PQRSTU，其中点P位于六边形ABCDEF的中心，若它们的面积均为1，则阴影部分面积是多少？
ABFUPCQEDTSR
BAFED
C （第36题图） （第37题图） （第38题图）
37、如图，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平行四边形，根据图中标明的数据，求出空白部分的面积。
38、如图，在六边形ABCDEF中，AB∥ED,AF∥CD,BC∥EF,AB=ED,AF=CD,BC=EF,又知对角线
FD?BD,FD?24cm,BD?18cm.求六边形ABCDEF的面积。
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39、如图，四边形ABCD是长方形，△ABC旋转后能与△AEF重合。
（1） 旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）连接FC，则△AFC是什么三角形？
AFEDBC
040、有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图所示，木工师傅通过测量可知，?B??D?90,AD?CD。思考一段时间后，一位木工师傅说：“我可以把两块木板拼成一个正方形。”另一位木工师傅说：“我可以把一块木板拼成一个正方形，两块木板拼成两个正方形。”两位木工师傅把木板只分割了一次，你知道他们分别是怎样做的吗？画出图形，并说明理由。
DABC
41、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，?以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ． （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．
（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由． A P
BC
Q
A D 42、如图，P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数．
P B C