行和实验数据建立系统的模型(模型结构和参数)，这种方法称为系统辨识。倒立摆的形状较为规则，而且是一个不稳定系统，无法通过测量频率特性方法获取其数学模型，故适合用数学工具进行理论推导。
直线倒立摆系统是一个机电一体化系统，由小车和摆杆组成。小车可以沿水平方向上的导轨运动，导轨的一端固定有位置传感器，可以测量小车的位移；摆杆通过转轴固定在小车上，小车和摆杆的连接处固定有共轴角度传感器，用以测量摆杆的角度。直流永磁力矩电机和位置传感器固定在同一侧，直流电机通过传送带驱动小车沿导轨运动。导轨的两端装有行程开关，限制小车的左右位置。
为了在数学上推导和处理问题的方便，可作出如下假设： （1） 摆杆在运动中是不变形的刚体；
（2） 齿型带与轮之间无相对滑动，齿型带无拉长现象； （3） 小车在运动过程中，摩擦系数一定； （4） 忽略空气阻力；
基于以上几点，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统。把小车和摆杆看成一个整体当作研究对象，则其受力图如图2-8：
图2-8一级倒立摆的模型示意图
首先，对小车进行受力分析，小车的受力分析如图2-9所示：
图2-9小车隔离受力图
其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。其余字母同图2.4中说明。图2-4中，u是系统受到的合外力，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向分
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量，u为小车受到的摩擦力，x为小车位移，β为摆杆与垂直向上方向的夹角，θ为摆杆与垂直向下方向的夹角(考虑到摆杆初始位置为竖直向下)。
分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程
其次，对摆杆水平方向进行受力分析，摆杆的受力如图2-10所示。
图2-10 摆杆受力分析图
把这个等式代入（2-1）中，就得到系统的第一个运动方程得
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(2-1)
2-2）2-3）2-4）（
（
（
（2-5）
为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：
（2-6）
力矩平衡方程为 ：
（2-7）
为了推出系统的第二个运动方程，合并（2-6）和（2-7）这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：
（2-8）
用u来代表被控对象的输入力F，则运动方程组为：
(2-9)
设
以进行近似处理：
（
是摆杆与垂直向上方向之间的夹角)，假设
，
,
无限趋近于零，则可
，线性化后两个运动方程如下：
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(2-10)
对上式做拉普拉斯变换，得：
(2-11)
注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度为Φ，求解方程组(2-11)的第一个方程，可以得到：
X(s)=[]
(2-12)
把式(2-12)代入方程组(2-11)的第二个方程，得到：
?(J?ml2)g??(J?ml2)g?2(M?m)??2??(s)s?b??2??(s)s?ml?(s)s?ml?(s)s2?U(s)s?s??ml?ml
整理后得到传递函数为：
（2-13）
其中q?[(M?m)(J?ml)?(ml)]
上式（2-13）是以合外力作为输入，摆杆摆动的角度作为输出得到的，它是一个高阶传递函数，
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q=[(M+m)(J+m]
为了方便分析和计算，我们以小车和摆杆的加速度a作为输入，摆杆摆动的角度作为输出即可得到：
小车和摆杆的位移作为输入：
小车和摆杆的加速度作为输入：
实际系统的模型参数如下:
M 小车质量 1.096 Kg m 摆杆质量 0.109 Kg b 小车摩擦系数 0 .1N/m/sec
l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25m
J 摆杆惯量 0.0034 kg.m.m T 采样频率 0.005秒
将参数值带入得到系统开环传递函数为
2.6机械传动装置及传动系统的特性
机械传动装置：倒立摆机械部分由小车、摆杆转轴、摆杆、导轨、同步带构成。电机通过同步带带动小车在导轨上运动，小车和导轨之间采用直线轴承以减少小车与导轨之间的摩擦。同样，为了减少摆杆转轴与小车铰链之间的摩擦采用滚动轴承。
传动方式：1皮带传动2链传动齿轮传动3蜗杆传动螺纹(丝杆)4传动齿轮齿条传动 其他传动机构：平面连杆机构，凸轮机构，
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