已校正系统具有开环传递函数
(2)可以看出，系统的相位裕量为0°，根据设计要求，系统的相位裕量为50°，因此需要增加的相位裕量为 50°，增加超前校正装置会改变Bode图的幅值曲线，这时增益交界频率会向右移动，必须对增益交界频率增加所造成的
的相位滞后增量进行补偿，
因此，假设需要的最大相位超前量到：
近似等于55°。因为 计算可以得
(3) 确定了衰减系统，就可以确定超前校正装置的转角频率最大相位超前角φ 发生在两个转角频率的几何中心上，即
)点上，由于包含)项，所以幅值的变化为：
(4 增加校正后系统的根轨迹和奈魁斯特图如下：
和，可以看出，, 在
从Bode 图中可以看出,系统具有要求的相角裕度和幅值裕度，从奈魁斯特图中可以看出，曲线绕-1 点逆时针一圈，因此校正后的系统稳定。 得到系统的单位阶跃响应如下：
可以看出，系统在遇到干扰后，在1 秒内可以达到新的平衡，但是超调量比较大。 程序： clear;
num=[0.02725]; num2=98*[0.02725]; [z,p,k]=tf2zp(num,den); subplot(2,1,1) bode(num2,den) nyquist(num2,den) za=[z;-8.9854;-2]; pa=[p;-90.3965;-0.1988]; kk=980;
% sys=zpk(za,pa,k); figure
23
subplot(2,1,1) bode(sys) subplot(2,1,2) nyquist(sys); figure
sysc=feedback(sys,1); t=0:0.005:5; impulse(sysc,t) 4.1.3滞后校正
（1）应用频域法设计无源滞后网络的方法
利用滞后网络或PI控制器进行串联校正的基本原理，是利用之后网络或PI控制器的高频幅值衰减特性，是已校正系统截止频率下降，从而使系统获得足够的相角裕度。因此，滞后网络的最大滞后角应力求避免发生在系统截止频率附近。在系统响应速度要求不高而抑制噪声电平性能要求较高的情况下，可考虑采用串联滞后校正。此外，待矫正系统已具备满意的动态性能，仅稳态性能不满足指标要求，也可以采用串联滞后校正以提高系统的稳态精度，同时保持其动态性能仍能满足性能指标要求。
如果研究的系统为单位反馈最小相位系统，则应用频域法设计串连无源滞后网络的步骤如下：
1）根据稳态误差要求，确定开环增益K。
2）利用已确定的开环增益，画出待校正系统的对数频率特性，确定待矫正系统的截止频率
c”
、相角裕度和幅值裕度h(dB)。
c”
3)选择不同的
，计算或查出不同的值，在伯德图上绘制
c
”
）曲线。
4）根据相角裕度”要求，选择已校正系统的截止频率c”.考虑到滞后网络在新的截止频率c”处会产生一定的相角滞后c（c”），因此下式成立：
c
”
）+
c（
c
”
）
c”
式中指标要求值，曲线上可查出相应的
c（
c
”
）在确定
c
”
.前可取为-6°。于是根据计算结果，在
）
值。
5）根据下述关系式确定滞后网络参数b和T：
24
+L’(
c
”
)=0
”
c
6）验算已校正系统的相角裕度和幅值裕度。 （2）应用方面
采用滞后校正可能会得出时间常数大到不能实现的结果。这种不良后果的出现，是由于需要在足够小的频率值上安置滞后网络第一个交接频率1/T，以保证在需要的频率范围内产生有效的高频幅值衰减特性所致。在这种情况下，最好采用串联滞后-超前校正。
4.1.4滞后-超前校正
可以看出，系统存在一定的稳态误差，为使系统获得快速响应特性，又可以得到良好的静态精度，我们采用滞后－超前校正（通过应用滞后－超前校正，低频增益增大，稳态精度提高，又可以增加系统的带宽和稳定性裕量），设滞后－超前控制器为：
设计控制器。设控制器为：
可以得到静态误差系数：
比超前校正提高了很多，因为－2 零点和－0.1988 极点比较接近，所以对相角裕度影响等不是很大，滞后-超前校正后的系统Bode 图和奈魁斯特图如下所示：
4.2 PID控制器设计 4.2.1 PID控制原理
PID（比例－积分－微分）控制是一种简单而又优秀的控制方法，在生产过程自动化控制的发展历程中，PID 控制是一种历史最悠久、生命力最强的基本控制方法。PID 控制器作为最早实用化的控制器已有 50 多年的历史，并且直到现在仍然是应用最广泛的工业控制器。在 PID 中因将偏差的比例（P）、积分（I）和微分（D）通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，故称 PID 控制器 PID控制器的传递函数为：
25
Kp为比例系数，T1微积分时间常数，TD为微分时间常数。 式中，
PID 控制器各个校正环节的作用如下：
（1）比例环节：成比例的反映控制系统的偏差信号 e(t)，控制器立即就产生控制作用，使被 PID 控制的对象朝着使偏差减小的方向变化。其控制作用的强弱取决于比例系数 KP的大小，KP值越大则过渡过程越短，控制结果的静态偏差也越小。加大 KP虽然可以减小偏差，但是 KP过大会导致系统的超调量增大或产生震荡现象，最终使系统的动态性能变差。
（2）积分环节：主要用于消除静差，提高系统的无差度。从积分环节的数学表达式可以看出，只要存在偏差，其就会不断增加。积分作用的强弱取决于积分时间常数 TI的大小，TI
越大则积分作用越弱，反之则越强。当 TI较大时，积分作用较弱，这时系统在过渡过程中不易产生震荡，但是过渡时间较长；当 TI较小时，积分作用较强，这时过渡时间较短，但是有可能产生震荡。
（3）微分环节：反映偏差信号的变化趋势（变化速度），并能在偏差信号变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减少调节时间。微分部分作用的强弱由微分时间常数 TD的大小决定，TD越大则抑制偏差变化的作用越强，反之则越小。同时 TD的大小对系统的稳定性也有很大的影响。 4.2.2倒立摆的PID控制
对于倒立摆控制系统在给系统施加脉冲扰动，输出量为摆杆的角度，同时摆杆的平衡
位置为垂直向上的情况时，其系统框图为：
当摆杆的平衡位置为垂直向上时，闭环控制系统中给定参考输入 r(s)为零，所以系统控制框图可以变换为：
图4-8系统简化后的框图
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该系统的输出为：
简化后可以得到：
其中，num——被控对象传递函数的分子项 den——被控对象传递函数的分母项 numPID——PID 控制器传递函数的分子项 denPID——PID 控制器传递函数的分母项
在前文我们已经得到倒立摆的开环传递函数，输入为小车的加速度，输出 为摆杆的角度，被控对象的传递函数为
代入实际数值后： 另外，
同时小车的位置X(s)可以通过对控制量V(s)即小车的加速度求双重积分得到：
4.2.3 Sinmulink环境下PID参数的整定
利用软件仿真的形式来实现对 PID 参数的整定， MATLAB/Simulink 就给我们提供了一个良好的软件平台。对PID控制器的传递函数：
KP+KI/S+KDS
使用稳定边界法整定参数的步骤如下：
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