（5）用反证法。假设结论是A。于是有①据规则4得到前提不可能有否定命题；②小面在结论
中周延，所以据规则2，小项在前提中也必须是周延的，由小项在第四格中的位置得到小前提必须是否定命题，这与①相矛盾。所以，假设不成立，第四格的结论不能是A。 二十一、
1、 证明：用反证法。假设其小前提是否定命题，于是结论也必须有为否定命题，这样大项在
结论中周延，由此大项在前提中也必须周延，由于已知大前提是特称命题，故大项若要在大前提中周延则大前提只能是O，这样两个前提都是否定命题，违反规则3。所以假设不成立，其小前提必须是肯定命题，再由两个特称命题得不出结论即知它还应是全称的。 2、 证明：根据规则5和规则3知，有且仅有一个前提是否定的，再根据7知前提应都是全称
的，因此前提之一是A，另一个为E。
3、 证明：根据规则4知，结论为否定，故大项在结论中周延，于是根据规则2得到大项在前
提中也要周延，但由于小前提已是否定，根据规则3知大前提应是肯定命题，而肯定命题的谓项是不周延的，因此为使得大项在大前提中周延它必须是A。
4、 证明：若第一格的三段论结论为O，则据规则5知其前提之一须是否定命题，由第一格的
特殊规则1知小前提必须是肯定命题，因此前提为否定命题的只能是在前提，再由第一格的特殊规则2知大前提必须是全称命题，综上知大前提只能是E。
5、 用反证法。假设小前提是否定的，那么据规则4，结论也应是否定的，于是大项在结论中周
延。再据规则2，大项在前提中也必须是周延的。而在第一格中，大项处于谓项的位置，所以大前提必须是否定的。这样一来，两个前提都是否定的，这就违反了规则3，故假设不成立，因此，在第一格中，小前提必须是肯定的。
6、 证明：一个三段论结论为否定命题，则其大项在结论中周延，据规则2知它在前提中也要
周延，而一个I其主项和谓项都不周延，因此如果它是一个正确的三段论，则此时其大前提不能是I。
7、 所有精通逻辑的都精能英语。
所有精通英语的不精通数学， 所有精通数学的都不精通逻辑。
它是第四格的AEE式，为一正确的三段论推理，若A与B，即前提皆真，可知结论也真，而结论与C是同一素材命题，它们分别是E和I，具有矛盾关系，不能同真，因此C假。 8、 证明：由三段论的规则知A与B至多有一个为否定命题。若A与B皆为肯定命题，则结
论已成立；若A与B有一个为否定命题，则结论C应为否定命题，而D是与C相矛盾的直言命题，则D应是肯定命题，因此，A、B、D中有两个为肯定命题，结论也成立。 9、 如果B为肯定命题，则D应为否定命题。此时若A也为肯定命题，则C应为肯定命题，
这样“D∧A→C”这违反了规则4。若A也为否定命题，则C也应为否定命题，这样“D∧A→C”这违反了规则3。
如果B为否定命题，则D应为肯定命题并且A只能是肯定命题，这样“D∧A→C”这违反了规则5。
综上，“D∧A→C”不是有效的三段论。
31
10、第四格的AAI式。推导过程：由大项在结论中不周延知结论为肯定命题，因而两个前提皆
为肯定命题。由肯定命题的谓项不周延而大项在前提中周延知大项在前提中处于主项的位置，故大前提是PAM。这样，中项在大前提中未周延，为使中项在前提中至少要周延一次，它在小前提中须周延，而小前提也是肯定命题，故小前提也应是A，且中项为其主项，因而，小前提是MAS。再根据前提中不周延的项在结论中不得周延知结论是特称命题，综上，结论为SIP。
11、首先，由小前提为O命题可以得到两点：一是由规则3和6知大前提是A命题；二是由规
则4和7知结论为O命题。这样该三段论是一个AOO式。第一格、第三格和第四格的AOO式分别如下：
MAP MAP PAM
SOM MOS MOS SOP SOP SOP
第一格的AOO式违反了大项不当周延的错误；第三格的AOO式违反了大项不当周延的错误；第四格的AOO违反了规则1。 所以，它只能是第二格的三段论。
12、假设第四格的大前提是O命题，即大前提是POM。则由规则4和7知结论是O命题，因
此大项在结论中周延，但由上知P是O命题的主项，不周延，这样便违反了规则(二)。由题11知第四格的小前提也不能是O命题。
13、既然小项在该第四格的三段论的结论中周延，因此它的结论是全称命题，由第四格的特殊
规则5知，这个第四格的三段论的结论只能是全称否定命题E，这样由规则7知其两个前提应都是全称命题。而第四格的小项在前提中是谓项，故为满足规则2，小前提只能是全称否定命题E。由规则3和前面巳得结论即可得其大前提只能是全称肯定命题A。综上，该第四格的三段论便为AEE式。
14、由规则3知大前提只能是肯定命题，由规则4知结论是否定命题，所以大项是周延的，再
由规则2知大项在前提中应周延，故大前提只能是全称肯定命题。
15、由(3)和(1)根据三段论第一格得到MOP，由此再据(2)根据充分条件假言命题推理的肯前式
得到SIP，再由直言命题的换位式得到PIS。因此肯定(1)、(2)和(3)就要肯定PIS和PES，而这两者具有矛盾关系，因此便违反了矛盾律。
16、用选言法证明。由c)知S与P只剩三种可能：(1)S与P全同；(2)S真包含于P；(3)S真包
含P。下面我们证明(1)和(2)不可能。如果(1)或(2)成立，则有SAP成立。由c)和a)运用充分条件假言命题推理的否定后件式得到P真包含于M，因此有PAM；再由c)和b)同理可得S与M交叉。由巳得的SAP和PAM据第一格的三段论的AAA式即得SAM，便与刚才所得的S与M交叉相矛盾。故(1)和(2)皆不可能。因此S真包含P。
17、证明：若(1)假，因恰有一个假，因此(3)真。同时(1)的否定真，即A不与B全同，且A不
与C全异。但这与(3)矛盾。因此(1)不能是假。同理可得(2)亦不能为假。因此(3)为假。因此(3)的否定真，即A不与C全异或者B不与C全异。
如果A不与C全异，则它和(1)根据充分条件假言命题推理的否后式得A与B全同。这时我们有：所有A是B；且由A不与C全异得到：有A是C。据三段论的第三格的IAI式可
32
推得：有B是C。
如果B不与C全异，则直接可得到有B是C。
18、证明：首先，由(2)可得概念A不与概念C全异，根据充分条件假言命题推理的否后式，由
它与(1)可得到概念A不与概念B全异，即有A是B。而(2)即为所有A是C。因此，据三段论的第三格的AII式可推得：有B是C，即概念B不与概念C全异。
19、由已知：A∧B→C；C即为?D；A即为?E。如果已有D(即? C)和B，则先由充分条件假言
命题推理的否后式得到?(A∧B)，即?A∨? B，由它再和B，即??B，据相容选言命题推理的否定肯定式便得到?A，即E。
20、证明：(1)用反证法。假设其小前提是否定命题，于是结论也必须为否定命题，这样大项在
结论中周延，由此大项在前提中也必须周延，由于已知大前提是特称命题，故大项若要在大前提中周延则大前提只能是特称否定命题，这样两个前提都是否定命题，违反了规则(三)。所以假设不成立，其小前提必须是肯定命题。
(2)用反证法。假设其结论是全称命题，于是小项在结论中周延，再据此得小项在前提中也必须
是周延的，于是在前提中总共有三次词项周延，易知要满足此须至少有一个前提是否定命题，这样结论也必须是否定的，于是大项在结论也是周延的，再据此得大项在前提中也必须是周延的，如此在前提中总共有四次词项周延，易知要满足此须两个前提皆是否定命题，而这违反了规则(三)，所以假设不成立，其结论必须是特称命题。
(3)因为ABC是一有效的三段论，所以A、B不可能都是否定命题，因此有两种情况：第一，
A、B都是肯定命题，此时结论成立；第二，A、B中一个为肯定命题，一个为否定命题，这样据规则(四)，结论C也必为否定命题，于是与C相矛盾的直言命题就是肯定命题，因此ABD中或者A与D是肯定命题，或者B与D是肯定命题，结论也成立。综上都有：ARB中肯定命题必然是两个。
二十二、
1、 （1）和(2)为下反对关系，不能都假，所以，这三句话中为真的那句应是(1)或(2)。于是(3)
假，所以其否定，即并非有P不是S真，也即所有P是S真。进而由从属关系知有P是S真，再由换位法得有S是P真：因此(2)假，因此它的否定，即并非有S不是P真，也即所有S是P真：综上，S与P为全同关系。
2、 运用换质法可知(1)与有S是P等值。运用换位法和换质法可知(3)与有P不是S等值。因此
它与题1的三句话分别对应等值，因此亏与P为全同关系。
3、 (1)和(2)为下反对关系，不能都假，所以，这三句话中为真的那句应是(1)或(2)。于是(3)假，
所以其否定，即甲班的小王不会游泳，为真。因此有些甲班的同学不会游泳真。即(2)为真。因此(1)假，其否定，即并非有些甲班的同学会游泳，为真。也即所有甲班的同学不会游泳真：因此，甲班的50名同学中没有人会游泳。
4、 能断定A不真包含于B为真。推理如下。假设A真包含于B。即有：所有A是B。由C
与A交叉，知并非C真包含于A。所以B真包含于C，所以就有所有B是C。因此由三段论第一格的AAA式可知所有A是C。这与C与A交叉相矛盾。因此假设不成立。故A不
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真包含于B。
5、 能断定C不真包含于A为真。由B真包含于C可知B不与C全异，由它和只有B与C全
异，A才不真包含于B，运用必要条件假言推理的否前式得A真包含于B。它和B真包含于C一起便可得A真包含于C。因此C不真包含于A为真。
6、 由A与B全异可知所有A不是B；由B与C不全异可知有B是C。根据三段论第四格的
EIO式得到有C不是A。因此A与C的外延关系可能有全异、交叉和真包含于这三种。 7、 若(3)真，则(1)和(2)都假，与题目条件不符，因此(3)假，其余皆真，所以(1)真，因此甲公
司总经理懂得计算机。
8、 由(1)得所有M不是P；由(2)所有S是M。根据三段论第一格的EAE式便得到所有S不是
P。因此S与P具有全异关系。
9、 由（1）知所有M是P；与（2）利用三段论第一格的AII式可得到有S是P。因此，因此S
与P可能具有全同、真包含于、真包含和交叉关系。
10、由PAS假可知POS真，再由SAP真可知S与P 具有真包含于关系。
根据内涵与外延的反变关系，因为S的外延较P的外延小，因而S的内涵较P的内涵多。 11、由MOP假可知MAP真，再和SAM一起根据三段论第一格的AAA式可得到SAP，因此S
与P可能具有全同关系，真包含于关系。
12、由SAP根据换质法得到所有S不是?P。因此，S、P、?P可能具有外延关系为：S与P全同，
与?P矛盾，或S真包含于P，P与?P矛盾。
S
P P S ?P S ?P 13、由M真包含于S知所有M是S，由此再和所有M不是P根据三段第三格的EAO式便得到
有S不是P。所以，S与P可能具有：全异关系、真包含关系、交叉关系。 14、根据A与概念C可能具有的外延关系有：全异关系、真包含关系、交叉关系。 15、S与P可能具有的外延关系有：全异关系、真包含关系、交叉关系。
16、由（1）知所有M不是P，与（2）根据三段论第三格的EAO式得到SOP。所以，S与P
可能具有的外延关系有：全异关系、真包含关系、交叉关系。
17、由S与P交叉得到SIP。根据三段论第二格的EIO式得到SOM。因此，S、M、P这三个概
念之间的外延关系有三种可能，如欧拉图所示： ① ② ③
M S p
M S P M S P 18、（1）和（3）具有下反对关系，二者不能都假，必有一真。故四句话中唯一的真句子必在这
二者中，其余的皆假。（2）假，则其否定真，即有S不是M，并且并非有S是M，也即所
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有S不是M（SEM）。（4）假，其否定真，即有M是P（MIP）。由上根据三段论第四格的EIO式得到POS。因此这四句话中（3）为真。因而（1）假。（1）的否定真，即所有P不是S。因而S与P在外延上具有全异关系。
19、由（1）得到：所有A是B，它与（2）一起根据三段论第二格的AOO式得到：有C不是
A。因此，并非C真包含于A。由此再和（3）根据充分条件假言命题推理的否定后件式得到：C真包含A。A、B、C三个概念在外延上可能具有的关系，见图：
20、 由（3）可得C与D不相容，即C与D全异，它和（1）根据充分条件假言命题推理的否
定后件式得到：A真包含于B。由（3）可得B与D相容，即B与D不全异，它和（2）根据必要条件假言命题推理的否定前件式得到：B真包含于D，再由刚才所推得的A真包含于B，便得到A真包含于D。A、B、C、D的外延关系如图：
D 二十三、
1、 有一个省略三段论。省略了大前提，为“真理随便什么时候都是不怕批评的”，小前提是“科
学是真理”，结论是“科学的东西随便什么时候都是不怕人家批评的。”它是有效的三段论。 2、 有两个三段论。（1）“凡是超过群众觉悟程度企图‘拔苗助长’的总是错误的”是大前提，
“命令主义超过了群众的觉悟程度，害了急性病”是小前提，“命令主义是错误的”是结论。这是有效的三段论。
（2）“凡是落后于群众的觉悟程度又违反了领导群众前进一步的原则的，总是错误的”是大前提，“尾巴主义落后于群众觉悟的程度，害了慢性病”是小前提，“尾巴主义是错误的”是结论。这是有效的三段论。
3、 有一个三段论。大前提是“所有在前沿科学取得重大成就的科学家都是懂得数学语言的，”
小前提是“有些年老的科学家不懂得数学语言”，结论是“有些年老的科学家不能成为在前沿科学中取得重大成就的科学家”。该三段论是有效的。
有一个三段论。这个三段论的大前提是“凡是有小生生物化石的地层都是地质史上的古海洋地区”，小前提是“喜马拉雅山脉的地层遍布了珊瑚、苔藓、海藻、鱼龙、海百合等化石”，结论是“喜马拉雅山脉在过去的地质年代里，曾经被海洋淹没过”。该三段论是有效的。
B AB C A C B A C c 35