(较大的数，即几倍数)；或和－小数＝大数。 【例题】(2006年北京)
三年级一班和二班少先队员共做好事360件，二班做好事的件数是一班的2倍，三年级一班和二班少先队员各做多少件好事?( ) A．100，260 B．110，250 C．120，240 D．130，230
【解析】答案为C。如果我们把一班做好事的件数作为1倍，“二班做好事的件数是一班的2倍”，那么一班和二班做好事件数的和，相当于一班做好事件数的3倍，则一班做好事的件数∶360÷(2＋1)＝120(件)；二班做好事的件数∶360－120＝240(件)。 十一、盈亏问题
数字盈亏问题是指在一定范围内的多组数字间存在一定的数量关系，其中一组数字如发生变化，就必然会引起另一组数字的变化。这种题型的解题关键是∶找出这几组数字间的关系，然后假设其中一组达到最大值，最后根据它们之间的关系和所得的结果，来推算出其他组的数字。
【例题2】(2004年广东)
顺昌面粉加工广要生产一批面粉，如果第一车间单独完成需要20天，第二车间单独完成需要30天，两个车间一起生产15天，超过任务定额150吨，这批生产任务是多少吨?( ) A．420 B．560 C．600 D．720
【解析】答案为C。第一、第二车间一起生产这批面粉需要∶1÷(1/20＋1/30)＝12(天)，如果两个车间一起完成15天，可以多生产150吨，由此可知，两个车间平均每天生产∶150÷3＝50(吨)。那么原计划的生产任务是∶50×12＝600(吨)。 十二、几何问题 【经典真题详解】 1．周长问题
周长问题关键是要学会“转化”。转化也就是把题中的某个图形转变成我们平时标准的长方形、正方形、圆形或其他规则图形，以方便计算它们的周长。 【例题】(2005年国家)
甲、乙、丙三人沿着400米环形跑道进行800米跑比赛，当甲跑l圈时，乙比甲多跑1／7圈。丙比甲少跑1／7圈。如果他们各自跑步的速度始终不变，那么，当乙到达终点时，甲在丙前面( )。
A．85米 B．90米 C．100米 D．105米
【解析】答案为C。设单位为圈，即S＝2，那么v甲＝1＝7/7，v乙＝1＋1/7＝8/7，v丙＝1－1/7＝6/7，当乙到终点时，s乙＝2，那么所需的时间t＝S乙／V乙＝2÷8/7＝7/4，那么S甲＝1×7/4，s丙＝6/7×7/4＝6/4，则s甲－S丙＝1/4圈，而一圈有400米，所以相差的距离是100米。 2．面积问题
要解决面积问题，关键是要会正确地“割、补”。通常使用的方法就是添加辅助线，即通过引入新的辅助线将图形分割或者补全成我们熟悉的规则图形，从而快速求得面积。 【例题1】(2009年国家)
如右图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。问阴影部分的面积是多少?( )
A．15 B．16 C．14 D．18
【解析】答案为B。设阴影部分的面积为S，根据图形的重叠情况，减去重叠部分的面积，可知∶x＋Y＋Z－24－70－36＋S＝290，即64＋180＋160－24－70－36＋S＝290，解得S＝16。故选B。
【例题2】(2007年国家)
现有边长1米的一个木质正方体，已知将其放入水里，将有0．6米浸入水中，如果将其分割成边长为O．25米的小正方体，并将所有的小正方体都放入水中，直接和水接触的表面积总量为( )。
A．3．4平方米 B．9．6平方米 C．13．6平方米 D．16平方米
【解析】答案为C。根据题意可知，该正方体可以分割成64个边长为0．25米的小立方体，每个立方体入水后，有0．15米浸入水中，因此所有的小正方体都放入水中后，直接和水接触的表面积应该是∶(0．25×0．25＋0．25×0．15×4)×64＝13．6(m2)。 3．体积问题
求解体积问题，除了使用体积公式外，有时还可利用补形、分割、转化等特殊方法。 【例题】(2008年浙江)
一个容器中已注满水，有大、中、小三个球，第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次取出中球，把大球和小球一起沉入水中。现在知道每次从容器中溢出水量的情况是∶第一次是第二次的1／3，第三次是第一次的2．5倍，求这三个球的体积之比?( )
A．1∶2∶3 B．2∶8∶11 C．3∶5∶9 D．5∶9∶11
【解析】答案为B。根据题意，可知溢出的水的体积和球的体积是一样的。假设小球的体积是1；第二次溢出水的体积是∶1×3＝3，所以中球的体积是∶3＋1＝4；第二次溢出水的体积是∶1×2．5＝2．5，所以大球的体积是∶2．5＋4－1＝5．5；所以三个球的体积比∶1∶4∶5．5＝2∶8∶11。 十三、排列、组台问题 【经典真题详解】 1．初等排列、组合
初等排列、组合指的是加法原理和乘法原理。
(1)加法原理∶完成一件事有n类方式∶A1，A2，?，An，每一类方式A中有Mi种方法，任何两类方式都互不相同，方法中任何一种都能单独完成任务，则总的方法数为∶N＝Mi＋M2＋?＋Mn。
(2)乘法原理∶完成一件事分n个步骤∶B1，B2，?，Bn，每一步骤Bi有Mi种方法，则总的方法数为∶N＝Mi×M2×?×Mn。 【例题1】(2009年国家)
小王忘记了朋友手机号码的最后两位数字，只记得倒数第一位是奇数，则他最多要拨号多少次才能保证拨对朋友的手机号码?( ) A．90 B．50 C．45 D．20
【解析】答案为B。根据题意可知，手机号码的倒数第一位是奇数，则可能的数为1、3、5、7、9，共5个；倒数第二位可以是。至9中的任何一个数字，共l0个。由此可知，手机号码最后两位的组合形式共有5×10＝50种。所以，小王最多要拨打50次才能保证打通朋友的电话。故选B。
【例题2】(2004年国家)
由A村去B村的道路有2条，由B村去C村的道路有3条，从A村经B村去C村，共有
多少种不同的走法?( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【解析】答案为A。从A村经B村去C村有两步∶第一步，由A村去B村有两种方法；第二步，由B村去C村有三种方法，所以，从A村经B村去C村共有2×3＝6种不同的走法。 2．复杂排列、组合 从挖个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号P表示。
从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示。 【例题1】(2009年国家)
要求厨师从12种主料中挑选出2种，从13种配料中挑选出3种烹饪某道菜肴，烹饪的方式共有7种，那么该厨师最多以做出多少道不一样的菜肴?( ) A．131204 B．132132 C．130468 D．133456
【解析】答案为B。这是排列组合题。该厨师做菜肴需要三个步骤∶第一步，在12种主料中任意选2种，有C212。种挑选方法；第二步，在13种配料中任意选3种，有C313。种挑选方法；第三步在7种烹饪方式中壬意选一种，有C17种挑选方法。根据乘法原理可知，该厨师最多可以做出不一样的菜肴有C212×C313×C17＝32132(种)。故选B。 【例题2】(2008年国家)
一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安非方法?( )
A．20 B．12 C．6 D．4
【解析】答案为A。原有三套节目，加上两头共四个空，这时再插入一个节目的个数为C(4，1)＝4，这时成了四个节目，加上两头有五个空，再插入第五个节目的个数为C(5，1)＝5，这是分两步进行的，听以共有方案4×5＝20(个)。 【例题3】(2007年国家)
把144张卡片平均分成若干盒，每盒在10张到40张之间，则共有( )种不同的分法。 A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】答案为B。144＝2×2×2×2×3×3。第一种分法∶平均每盒16张，分在9个盒子。第二种分法∶平均每盒12张，分在12个盒子。第三种分法∶平均每盒24张，分在6个盒子。第四种分法∶平均每盒18张，分在8个盒子。第五种分法∶平均每盒36张，分在4个盒子。故正确选项为B。 十四、其他问题 【经典真题详解】 1．统筹与优化问题
统筹与优化问题是在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，努力争取获得在允许范围内的最佳效益问题。统筹与优化问题具体有以下内容∶
(1)完成一件事情，怎样规划安排才能用时最少、用费最省、路线最近等； (2)任务固定，设计如何使用最少的人力、物力去完成；
(3)人力、物力固定，设计调配方案，获取最快速度和最佳效果。 【例题1】(2006年国家)
学校大扫除，四位同学各拿大小不一的桶一同去打水，注满这些水桶，第一人需用5分钟，第二人需用3分钟，第三人需用4分钟，第四人需用2分钟。现只有一个水龙头，应如何安
排这四个人的打水次序，使他们花费的等候时间总和最少，这个时间为多少分钟?( ) A．15 B．20 C．25 D．30
【解析】答案为D。按照“占用时间少的事情先进行”的原则，打水顺序为∶第四人、第二人、第三人、第一人，总共用的时间∶2×4＋3x 3＋4×2＋5×1＝30(分钟)。 【例题2】(2005年天津)
今有甲、乙、丙、丁四人在晚上都要从桥的左边到右边，此桥一次最多只能走两人，而且只有一支手电筒(过桥是一定要用手电筒)。四人过桥最快所需时间为∶甲∶2分钟；乙∶3分钟；丙∶8分钟；丁∶10分钟。走得快的人要等走得慢的人，让所有的人都尽快地过桥需要多长时间?( )
A．15分钟 B．20分钟 C．21分钟 D．30分钟
【解析】答案为C。先是甲和乙一起过桥，然后将乙留在对岸，甲独自返回。甲返回后将手电筒交给丙和丁，让丙和丁一起过桥，丙和丁到达对岸后，将手电筒交给乙，让乙将手电筒带回，最后甲和乙再次一起过桥，则所需时间为∶3＋2＋10＋3＋3＝21(分钟)。 2．容斥问题
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是∶先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。这是2004年、2005年中央、国家机关公务员考试的一个难点。这种题型的解题要点是两个公式，即∶
(1)如果被计数的事物有A、B两类，那么，A＋B＝A＋A∩B。
(2)如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C。
【例题1】(2008年国家)
共有100个人参加某公司的招聘考试，考试内容共有5道题，1～5题分别有80人、92人、86人、78人和74人答对，答对了3道和3道以上的人员能通过考试，请问至少有多少人能通过考试?( )
A．30 B．55 C．70 D．74
【解析】答案为C。考虑未答对的题目总数为(100－80)＋(100－92)＋(100－86)＋(100－78)＋(100－74)＝90，由于答错3道或3道以上题目不能通过考试，最不理想的情况是刚好每个人错3道，30个人正好错90道。所以，至少有70个人能通过这次考试。 【例题2】(2007年江苏)
对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有( )。 A．22人 B．28人 C．30人 D．36人
【解析】答案为A。设A＝喜欢看球赛的人(58)，B＝喜欢看戏剧的人(38)，C＝喜欢看电影的人(52)，则∶
A∩B＝既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人(18) B∩C＝既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人(16) A∩B∩C＝三种都喜欢看的人(12)
A∪B∪C＝看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种(100)
根据公式∶A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C，则C∩A＝A＋B＋C－(A∪B∪C＋A∩B＋B∩C－A∩B∩C)＝148－(100＋18＋16－12)＝26。所以，只喜欢看电影的人＝C－B∩C－C∩A＋A∩B∩C＝52－16－26＋12＝22(人)。
3．跳井问题
【例题l】(2005年山东)
两只蜗牛由于耐不住阳光照射，从井顶走向井底，白天往下走，一只蜗牛一个白天能走20分米，另一只只能走15分米；黑夜里往下滑，两只蜗牛下滑速度相同，结果一只蜗牛5昼夜到达井底，另一只却恰好用了6昼夜。问井深是多少分米?( ) A．100 B．150 C．200 D．250
【解析】答案为B。两只蜗牛白天路程差为∶20×5－15×6＝10(分米)。因为最终到达井底，所以蜗牛黑夜下滑的速度为每夜∶10÷(6－5)＝10(分米)。井深为∶(20＋10)×5＝150(分米)。
【例题2】(2004年广东)
有一只青蛙在井底，每天爬上4米，又滑下3米，这井有9米深，那么，爬上这口井的上面一共需要多少天?( )
A．2 B．6 C．4 D．7
【解析】答案为B。青蛙爬到5米之后，后一天再爬上4米的话，就可以到井顶了，所以一共需要6天。 4．对分问题
对分问题是数学运算中的典型问题。可设原始长度为S的一个东西，每次分a部分，取其中之一，如
果分了n次，那么还剩下S．(1/2)n。 【例题1】(2005年北京)
用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子3折时，差4米，绳子长度、井深分别为多少米?( ) A．54，22 B．50，25 C．45，18 D．45，22
【解析】答案为A。井的深度为∶(5×2＋4×3)÷(3－2)＝22÷1＝22(米)。绳子长度为∶(22＋5)×2＝27×2＝54(米)。 【例题2】(2004年山东)
有一根一米长的绳子，每次都剪掉绳子的2／3，那么剪掉三次之后还剩多少米?( ) A．8／27 B．1／9 C．1／27 D．8／81
【解析】答案为C。题中所提到的把一米长的绳子剪掉2／3之后，还剩下1／3；第二次剪掉2／3后，还剩下1／3的1／3，即(1/3)2＝1/9；第三次剪掉2／3后，还剩下(1/3)3＝1/27。 5．计算预支问题
对预支问题进行分析，可以发现此类问题与比例问题是相通的。按照比例问题的解法解预支问题同样实用。
【例题1】(2004年国家)
某部门原计划召开为期10天的重要会议，预算费用为32000元，由于议程安排紧凑，会期比计划缩短了两天，实花费用节省了25％。其中，仅住宿一项就占会议节省费用的60％，问会议住宿费节省了多少元?( )
A．3500 B．3800 C．4800 D．4000
【解析】答案为C。设节省住宿费为x，则x＝32000×25％×60％＝4800(元)。 【例题2】(2006年广东) 某协会开年会，需预算一笔钱作经费，其中发给与会者生活补贴占10％，会议资料费用1500