则称Ψ(t)为一个基本小波或小波母函数。将其伸缩和平移后，得到小波基函数
?a,b(t)?|a|?(3.2.3离散小波变换
?12t?b),a?0,b?R (3) a在连续小波变换的定义中，伸缩因子a（尺度参数）、平移因子b（位置参数）以及时间t都是连续量，它们必须经过离散化处理后才能被计算机识别并参与计算，这一离散化过程叫做离散小波变换（DWT）。值得注意的是，离散小波变换是对参数a和b的离散，而非对时间进行离散化处理。
同样，由于连续小波变换中尺度参数 a 和位置参数 b 都是连续变化量，因此小波基函数Ψab(t)是一个相关函数。理想情况下的离散化小波基函数Ψmn(t)由于满足正交完备性条件，使得小波变换后系数的冗余度降到最低，大大减轻了计算工作量。
3.3 几种常见的小波函数
1. Haar小波（哈尔小波）
Haar小波（如图3-1）是在小波分析中最早被用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，它也是最简单的一个函数，其定义如下：
?1??(t)???1?0?0?t?1/21/2?t?1其他 (4)
由式(4)可知，Haar 小波时域非连续，频域局部性较差，一般用于理论究。
图3-1 Harr小波函数及其尺度函数
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2. Mexican Hat 小波（墨西哥帽小波） Mexican Hat 函数为
?(t)?2?3?14(1?t2)e?r22 (5)
它是高斯函数的二阶导数，因其看上去像一顶墨西哥帽的横截面（如图3-2），故又名墨西哥帽小波。它的尺度函数不存在，不具有正交性。
图 3-2 Mexican Hat 小波函数 3. Morlet小波
Morlet小波是一种复值小波，定义如下：
?(t)?Ce?r22cos5t (6)
Morlet小波能提取信号的幅值和相位，具有较好的时频局部化能力，但它的尺度函数不存在，也没有正交性。其函数如图 3.3 所示。
图3-3 Morlet小波函数
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3.4 小波分析的 MATLAB 实现
MATLAB7.0 提供了专门用于小波分析的 Wavelet Toolbox 3.0（小波工具箱）， 该工具箱中有大量函数能够被直接调用，掌握了它们，也就掌握了使用 MATLAB,进行小波分析的方法。因此，本文选择调用小波工具箱中相应的函数进行编程，来实现对待测信号的分析与处理。小波工具箱中的部分函数及其功能如表3.1。
4 钢材缺陷超声检测信号的分析与处理
在超声检测过程中，电源电压的波动、静电干扰、接地不良等仪器因素和超
声波在被检测物体内部传播时遇异质界面和晶粒造成的散射与反射回波都会对缺陷波造成影响，这些噪声信号一般都表现为平坦的宽带特性，因此在研究时可以认为是加性高斯白噪声。这样，接收换能器的输出信号就是回波信号加上加性
噪声。超声回波信号混合噪声后，它的波形在时间轴上拓展了，频带变得更宽。
4.1检测装置
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（1）Olympus 信号发生器 （2）Tektronix TDS2024c示波器 （3）计算机
4.2 实验设备检测
（1）斜探头延迟时间的测定
1amp(V)0-181012time（us）
图4-1 探头延迟回波时间
两探头对齐然后向相反方向移动，当出现一个最大幅度的回波时，从计算机检测软件中读取到这个回波的时间如图4-1所示(超声发射器增益10，数字增益1)，即为延迟时间t延迟=8.5（us）。 （2）斜探头入射点和试件中声速的测定
在检测面中心位置移动（探头声束轴线与试块两侧平行），使R100圆柱曲面底面回波达最高,如图4-2所示（超声发射器增益06，数字增益 2）。
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。
1amp(v)0-1-2406080time(us)
图4-2 圆柱曲面底面回波
经测量量出探头前端至试块圆弧边缘的距离M=87。则该探头的前沿长度为：
l0=100-M=100-87=13(mm) (7) amp(v)0697275time(us)
图4-3 试件声速回波时间
此时可从计算机检测软件中读取到这个回波的时间，如图4-3所示（超声发射器增益10，数字增益1）。 t总?70.5us,
t?t总?t延迟?70.5?8.5?62us?0.062ms,由
200?v试件?t可得出超声波在工件内的传播速度v试件：
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