学生解答问题2（2）的典型错误如图1～图3。图1表明，学生虽然找出了符合条件的几个关键点，但是受到一次函数图像的影响，画成了折线段；图2表明，学生虽然认识到符合条件的点不在一条直线上，但是又思维定势地画成了圆弧；图3表明，学生已经具备了画函数图像的基本技能，但是对自变量的取值缺乏深刻认识，因此没有画出完整的图像。
学生的解答反映了他们的认知基础。已经学过函数、一次函数、反比例函数的基础知识，了解画函数图像的三个步骤，尤其能够熟练画出线性函数的图像。但是面对第一次出现的“分支曲线”，在认识上还是存在比较大的困难。如受到双曲线的渐近性、不连续性和现实模型的局限性的影响，不一定清楚反比例函数的图像是双曲线，不一定明白双曲线为什么与坐标轴无限接近而不相交，不一定理解探索反比例函数图像的思维价值。
为此，教学中既要运用已有探究经验的正迁移研究反比例函数的图像，又要区分反比例函数与一次函数，重视自变量的取值范围，利用几何意义努力克服负迁移；既要从学生认知的角度设计有层次、多类型的问题，让学生感受解决问题的方法和价值，又要运用学生对陌生问题和新知识的好奇心与求知欲，变学习挑战为发展机遇，让认知短板成为能力跳板。
二、教学设计与实施
（一）充分探究，认识图像
为了帮助学生将所学新知识纳入到已有的认知结构中，建构对反比例函数图像的认识，笔者从学生的学习基础出发，引导学生交流前测问题2的解法，展开对反比例函数图像的探究——
师 （出示图1）图中画出的矩形的面积是否为6？满足条件的点P就这4个吗？
生 图中所画的矩形面积为6，但是满足条件的点P不止这4个，还有比如点（1.5,4）。
师 这位同学跳出了格点的限制，很好！点（1.5,4）在所画的折线上吗？
生 （众）不在。
师 （在图中标出该点的位置）满足条件的点有多少个？
生 有无数个，比如（4,1.5）、（1.2,5）、（2.4,2.5）、（5,1.2）等等。
师 请同学们在所给的坐标系内描出这些点。它们到底能构成怎样的图形？
生 （展示图2）它们应该都在圆弧上。
师 为什么？
生 因为我发现点（1,6）、（2,3）、（3,2）和（6,1）到点（6,6）的距离都是5，所以我画的是以（6,6）为圆心、5为半径的圆弧。刚才在图中标出了（4,1.5）、（1.2,5）、（2.4,2.5）和（5,1.2）的大致位置，发现这些点好像都在这条圆弧上。（迟疑片刻）我认为这些点都在以（6,6）为圆心、5为半径的圆弧上。
师 刚才这位同学借助图形直观得到了“满足条件的所有点都在圆弧上”的猜想。下面就请同学们分成4个小组，计算（4,1.5）、（1.2,5）、（2.4,2.5）、（5,1.2）到（6,6）的距离。