【答案】3410x y +-=或34210y +-=或3x =或
7320244x y --=. 【分析】此题需要分为两类来研究，一类是直线L 与点()1,2A
和点()5,1B -两点的连线平行，一类是线L 过两点()1,2A 和点
()5,1B -中点，分类解出直线的方程即可.
15 【详解】∵
5AB ==，122AB >， ∴A 与B 可能在直线l 的同侧，也可能直线l 过线段AB 中点， ①当直线l 平行直线AB 时：123514
AB k --==--，可设直线l 的方程为34y x b =-+
依题意得：2=，解得：214b =或14b =， 故直线l 的方程为：3410x y +-=或34210y +-=
②当直线l 过线段AB 中点时：AB 的中点为13,2?? ???
， 当直线斜率不存在时：直线l ：3x =，符合题意；
当直线斜率存在时，可设直线l 的方程为()132
y k x -=-
依题意得：2=，解得：724
k =， 故直线l 的方程为：3x =或7320244
x y --=. 综上所述：直线方程为：3410x y +-=或34210y +-=或3x =或
7320244x y --=. 【点睛】本题考查点到直线的距离公式，求解本题关键是掌握好点到直线的距离公式与中点坐标公式，对空间想像能力要求较高，考查了对题目条件分析转化的能力.
18．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =
. （1）若25c =，且//c a ，求c 的坐标；
（2）若()1,1b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.
【答案】（1）()2,4c =或()2,4-- （2）()5,00,3λ??∈-+∞ ???
【分析】（1）由向量共线的坐标运算及模的运算即可得解；
（2）由向量数量积的坐标运算即可，特别要注意向量a 与a λb +不能共线.
【详解】解：（1）因为()1,2a =，且//c a ，
16 则(,2)c a λλλ==， 又25c =，所以22(2)20λλ+=，即2λ=±，
故2,4c
或()2,4--； （2）由()1,1b =，则()1,2a λb λλ+=++，
由()1(1)2(2)0a a λb λλ?+=?++?+>，解得53λ>-
， 又a 与a λb +不共线，则1(2)2(1)λλ?+≠?+，解得0λ≠，
故a 与a λb +的夹角为锐角时，实数λ的取值范围为：()5,00,3??-
?+∞ ???. 【点睛】本题考查了向量共线的坐标运算及数量积的坐标运算，重点考查了运算能力，属基础题.
19．已知直线1:230l x y -+=及点(2,0)P ．
（1）求点P 关于直线1l 对称的点Q 的坐标；
（2）求过点P 且与直线1l 夹角为4
π的直线2l 的方程． 【答案】（1）(0,4)Q ；（2）360x y --=和320x y +-=．
【分析】(1)设()00,Q x y ,再根据直线PQ 与1l 垂直,且,P Q 的中点在直线1l 上列式求解即可.
(2)利用两直线夹角的斜率公式求解直线2l 的斜率,再利用点斜式求解直线2l 的方程即可.
【详解】(1) 设()00,Q x y ,因为,P Q 关于直线1l 对称,故0000
202302201122x y y x ++?-?+=???-??=--?? , 即000028024x y y x -+=??=-+? ,解得0004
x y =??=?,故(0,4)Q . (2)设直线1l 的倾斜角为θ,1tan 2θ=.则直线2l 的倾斜角为4πθ+或4
πθ-. 当直线2l 的倾斜角为4πθ+时, 2l 的斜率tan 1tan 341tan πθθθ+??+== ?-?
?,故直线2l 的方程为()032y x -=-,
17 化简得360x y --=.
当直线2l 的倾斜角为34πθ+时, 2l 的斜率3tan 11tan 41tan 3πθθθ-??+==- ?+??
,故直线2l 的方程为()1023
y x -=--,化简得320x y +-=. 所以直线2l 的方程为360x y --=和320x y +-=.
【点睛】本题主要考查了求点关于直线对称点的坐标,同时也考查了求与已知直线呈一定夹角的直线的方程.属于中档题.
20．一束光从从光源(1,2)C 射出，经x 轴反射后（反射点为M ），射到线段,[3,5]y x b x =-+∈上N 处.
（1）若(3,0)M ，7b =，求光从C 出发，到达点N 时所走过的路程；
（2）若8b =，求反射光的斜率的取值范围；
（3）若6b ≥，求光从C 出发，到达点N 时所走过的最短路程.
【答案】（1
）（2）57[,]42（3
）77b S b ≤≤=> 【分析】（1）求出()1,2C
关于x 轴的对称点C '，进而可以求出反射光线所在直线C M l '，从而可以求出()5,2N ，求出C N '即可；（2）将8b =代入线段[],3,5y x b x =-+∈中，结合()1,2C 关于x 轴的对称点C '，可求出反射光斜率的取值范围；（3）分析可知反射光与直线y x b =-+垂直时，光所走过的路程最短，可求出反射光线所在直线的方程，进而求出反射直线与y x b =-+的交点，然后分别讨论交点在线段上与不在线段上，可求出对应的最短路程．
【详解】（1）()1,2C 关于x 轴的对称点()1,2C '-，:3C M l y x '=-
[]353,57
y x x y x =-??=∈?=-+?，则此时()5,2N
所以光所走过的路程即
C N '= （2）对于线段[]8,3,5y x x =-+∈，令其端点()()3,5,5,3A B 则75,24C A C B k k ''==， 所以反射光斜率的取值范围是57,42??????
18 （3）若反射光与直线y x b =-+垂直，光所走过的路程最短，则由332y x b b x y x =-+?+?=?=-?
①当[]33,52
b x +=∈，即67b ≤≤时，光所走过的最短路程为点C '到直线y x b =-+的距离，
所以路程S ==； ②当()35,2b x +=
∈+∞，即7b >时，光所走过的最短路程为线段C B '，其中()5,5B b - 所以
C B S ===
'
综上：77b S b ?≤≤?=>
【点睛】本题考查了直线的方程，考查了点关于直线的对称问题，考查了斜率问题，距离问题，属于中档题．
21．如图，已知直线1:0l kx y +=和直线2:0(0,0)l kx y b b k ++=>≥点O 为坐标原点，()4,2P ，()4,4Q --，点A 、B 分别是直线1l 、2l 上的动点，直线1l 和2l 之间的距离为3.
（1）求直线OP 和直线OQ 的夹角的余弦值；
（2）已知A 、B 中点为M ，若||8PA PB +=，求PA PB ?的最大值；
（3）若0k =，2AB l ⊥，求||||||PA AB BQ ++的最小值.
【答案】（1；（2）
554；（3）3. 【分析】（1）根据向量夹角公式先求出cos ,||||OP OQ OP OQ OP OQ ?<>=?，即可得出结果； （2）PA PB ?=216MA -，只需求出MA 最小值即可；
（3）作P 关于直线32y =-
的对称点P '，可得()4,5P '-，作Q 关于3
y =-的对称点Q '，可得()4,2Q '--，