自考2324离散数学第四章课后答案(3)

故G是六阶循环群。

Littletree同学指出还有一个生成元：[5]

因4=[5]2，6=[5]3,2=[5]4,3=[5]5,1=[5]6

10、设A={x|x∈R∧x≠0,1}，在A上定义6个函数如下： f1(x)=x , f2(x)=x-1 ,f3(x)=1-x ,f4(x)=(1-x)-1 ,f5(x)=(x-1)x-1, f6(x)=x(x-1)-1,令F={fi|i=1,2,....,6},函数的复合o是F上二元运算。

a) 求o的运算表。 b) 验证是一个群。 晓津答案： a)

o f1 f2 x x (1-x) -1-1-1f3 1-x (x-1)x x x(x-1) -1-1-1f4 (1-x) x(x-1) x (x-1)x x -1-1-1-1-1f5 (x-1)x 1-x x(x-1) x (1-x) x -1-1-1-1f6 x(x-1) (1-x) (x-1)x x 1-x x -1-1-1-1f1 x f2 x f3 1-x f4 (1-x) f5 (x-1)x f6 x(x-1) -1-1-11-x x(x-1) (x-1)x -1x (1-x) -11-x b)(画完上面表格，真是头都大了)，我们可以看到，表中的所有元都在F内，因此运算是封闭的。有幺元e=f1,对于每个fi∈F，都有逆元存在。因此运算是一个群。

11、设G={a,b,c},在G上定义二元运算。如下表所示：

o a a a b b c c b c b c c a a b a) 验证 为群；

b) 是否为循环群，如果是，找出它的生成元。 解： a)

从运算表中可以看 其具有封闭性。有幺元 a ，对于 b 有逆元 c ，对于 c有逆元 b 。同时可看出其具有结合性，如(a。b)。c=a。(b。c)=a

b) 其是循环群， b=b c=b2 a=b3 b是生成元。还有 c=c b=c2 a=c3 所以c也是生成元

12、设是群的子群， N={x|x∈G,xHx=H}。 证明：

是的一个子群。 晓津证明如下：

(1)设任意a,b∈N，则必有aΔa-1和bΔb-1∈H，由是的子群，可知a,b∈H，且aΔb∈H因此有(aΔb)Δ(aΔb)-1∈H

可得aΔb∈N。

(2)对应任意a∈N，有aΔa-1∈H，同时有a-1Δa∈H，因此有a-1∈N

所以(N，Δ)是(H，Δ)的子群，因为H≤G,所以有N≤G.

13、设G是交换群，证明G中一切有限阶元素所组成集合H是G的一个子群。

-1

晓津提问：对于G中有限阶的理解

(1)是指G中的有限阶群，题意是指任何一个有限阶群都是G的一个子群?(2)还是指G中所包含的元素的阶是有限的且这些元素组成的集合是G的一个子群?

请兄弟MM们提供高见。 下面是阮允准同学的证明: 我认为是第2种理解。 证明如下：

设e是＜G，＊＞的幺元 显然e∈H,

所以H是G的非空子集。

设任意的a,b∈H，则必有正整数m,n使am=e,

bn=e 由b*b-1=e, 所以(b*b-1)n=en 所以bn*(b-1)n=e e*(b-1)n=e 所以(b-1)n=e

(a*b-1)mn=amn*(b-1)mn=(am)n*((b-1)n)m=en*em=e 所以a*b-1∈H 所以H≤G

14、设G是一个群，～是G的元素间的等价关系，对任意 a,x,y∈G,ax～ay=> x～y 证明：

H={x|x∈G,x～e}是G的子群，其中e是G的幺元。

晓津证明如下：

我的理解是ax就是指a与x之间进行某种运算的意思。这里我且用*夹在其中表示.

(1)因为e∈G，e～e,所以e∈H, 若有任意a,x∈H

则a,x∈G，x～e，a～e可得x～a, 同时有x-1∈G，所以有 a*x-1=x*x-1=e a*e＝e*e=e 即有a*x-1～a*e

=〉x-1～e 因此有x-1∈H

(2)设任意x,y∈H，则有x,y∈G，x～e,y～e 又因x*y∈G，同上分析，若有任意a∈H，有a～e,则 a*(x*y)=e*(e*e)=e； a*e=

e；

即有a*(x*y)～a*e => (x*y)～e 所以x*y∈H,

因此是的子群

15、 设,是两个群。在G1×G2上定义☆为：

☆=, 证明： 是一个群。 晓津证明如下：

(1)设有任意,∈G1×G2 因为a1*a2∈G1，b1Δb2∈G2 所以∈G1×G2 即☆∈G1×G2 因此是封闭的。

(2)设有任意∈G1×G2 则有(☆)☆ =☆ =☆(☆) =☆ =

可见，在G1×G2上关于☆运算是可结合的。

(3)因为在中有幺元e1,中有幺元e2, 所以在G1×G2上，对任意有 ☆== 因此存在幺元e=.

(4)因为在中对每个元素a有逆元a-1，在中对每个元素b有逆元b-1,则

在G1×G2中，对任意有

☆===e

可得是一个群。

4.4习题参考答案

1、已知一个环<{a,b,c,d},+,△>,它的运算如表4.4.2所示。

+ a b c a a b c b b c d c c d a d d a b △ a b c a a a a b a c a c a a a d a c a