自考2324离散数学第四章课后答案(6)

则称f为由到的一个同态映射，称是的同态象。

证明： 任一环的同态象是一个环。

本题看起来实在复杂，请同学们帮助证一下吧。

8、已知 <{ | a,b是整数},+,*>是环，其中规定 = iff a=c,b=d,+=, *=，说明该环是否为整环？为什么？ 晓津答案：

设它是一个整环，则要证明：该环是含幺环、是交换环、对于集合中每个元素存在逆元，且无零因子。如下： 设题中给定环为

(1)在中，存在幺元e=,验证如下： *== *== (2)同样容易验证此环是可交换的。 (3)下面讨论它是否存在零因子：

设有任意,∈A,且≠<0,0>，且*=<0,0>,则有 =<0，0>,

在整数的乘法中我们知道ac=0且a≠0时，必有c=0,同样,bd=0且b≠0时必有d=0,所以有 =<0,0>=0，因此 在中无零因子。它是一个整环。

4.5 习题参考答案

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1、 L是40的正整数因子集，偏序关系为整除/，问是否是格，画出其哈斯图。 晓津答案：L={1,2,4,5,8,10,20,40} L是一个格，其哈斯图如下：

-------------------------------------------------------------------------------- 2、设是一个格，任取a,b∈A,且 ab,a≠b构造集合。 B={x | x∈A,且axb} 则 也是一个格。

晓津证明：

设任意x,y∈B，则x,y∈A,因此x∧y和x∨y分别为x,y在A中的最大下界和最小上界， 又因为ax,ay 可知，a是{x,y}的下界， 则有ax∨y

由xb,yb，可知b是{x,y}的上界， 有x∧yb

可知x∧y,x∨y ∈B,它们分别是x,y的最大下界和最小上界。因此是一个格。 -------------------------------------------------------------------------------- 3、找出所有4个元素的格。

晓津的理解是，画出4个元素的格的形式：如下：

-------------------------------------------------------------------------------- 4、设为格，对任意 a,b,c∈L, 则有 a) a∨(b∧c)(a∨b)∧(a∨c), b) (a∧b)∨(a∧c)a∧(b∨c)。

阮允准同学的证明如下：

a) 因为a(a∨b), a(a∨c)所以a(a∨b)∧(a∨c)

又(b∧c)b(a∨b),(b∧c)c(a∨c)所以(b∧c)(a∨b)∧(a∨c) 所以(a∨b)∧(a∨c)是a和(b∧c)的上界 而a∨(b∧c)是a和(b∧c)的最小上界 所以有a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c) b)证法和a)类似

-------------------------------------------------------------------------------- 5、的哈斯图如图所示，问下述子集中，哪些是子格： L1={0,a,b,1} L2={0,a,e}, l3={a,c,d,1}, L4={0,c,e,1}。

晓津答案：

L1：不是子格，其中a∨b=c不在L1中。 L2: 不是子格，其中a∨e=1不在L2中。 L3: 是子格。

L4：不是子格,因为c,e的最大下界是b，并没有在L4中。 --------------------------------------------------------------------------------

6、对下图的两个格L1和L2，找出它们所有的3元子格、4元子格及5元子格。

晓津答案： (1)三元子格：

对于L1：{a,b,c}、{a,b,e}、{a,b,d}，{a,d,e},{b,c,e},{b,d,e}、{a,e,c} ;

对于L2:{a,b,e},{a,d,e},{a,c,f},{a,d,f}, {a,e,g},{a,b,g},{a,c,g},{a,f,g},

{d,e,g,},{d,f,g}、{a,d,g},{g,f,c},{g,e,d}；

(2)四元子格：

对于L1：{a,b,c,e},{a,b,d,e},{b,c,d,e}，

对于L2：{a,b,e,d},{a,b,e,g},{a,c,f,g},{a,c,d,f},{e,d,f,g}，{a,e,d,g},{a,d,f,g}

(3)五元子格： 对于L1:{a,b,c,d,e}

对于L2:{a,d,e,g,f},{a,b,d,e,g},{a,c,d,f,g}

-------------------------------------------------------------------------------- 7、设L是格，任取 a,b∈L,a

说明L1，L2，L3都是L的子格。 晓津答案：

(1)设任意x,y∈L1 则x,y∈L，xa,ya, 即有x∨ya,

可见a是x,y的一个上界，

因为在L中任意两元素有最大下界存在,由x,y∈L1 , x∧y为x与y的最大下界,必有x∧ya。

即x,y在L1上是封闭的。因此它是一个格。

(2)与以上说明类似。

(3)与(1)相比增加了一个最小下界的说明。

-------------------------------------------------------------------------------- 8、设 为一个格，其哈斯图如下图所示：

取S1={a,b,c,d} S2={a,b,d,f} S3={b,c,d,f}

问：,,中哪些是格？哪些是的子格。

晓津答案：

S1是格，也是的子格。 S2是格, 但不是的子格。

S3是格，但不是的子格，因为b,d的最小上界不在S3中。 -------------------------------------------------------------------------------- 9、在一个格中，对任意 a,b,c∈A,则有 a∨(b∧c)(a∨b)∧(a∨c) (a∧b)∨(a∧c)a∧(b∨c)

这部分的不等式称为格的分配不等式。

晓津答案：本题与第4题完全一样，请参照第4题答案。 --------------------------------------------------------------------------------

10、写出下图所示的格L1的所有子格。

晓津答案： 1元子格有： L2={a} L3={b} L4={c} L5={d}

2元子格有：

L6={a,b} L7={a,c} L8={b,d} L9={c,d},L10={a,d} 3元子格有：

L10={a,b,c},L11={a,c,d} 4元子格有：L12={a,b,c,d}

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11、设是一个代数系统，其中∨,∧都是二元运算，且分别满足幂等性，试举例说明吸收性不一定成立。

留给您来做啦~

4.6习题参考答案

1、设L是分配格a,b,c∈L, 证明： a∧b

c

a∨b <=> c=(a∧c)∨(b∧c)∨(a∧b)。

下面是阮允准同学的证明： 1、证明：

（1）充分性

因为a∧b≤c所以c=c∨(a∧b)............(1)

因为c≤a∨b所以c=(a∨b)∧c=.(a∧c)∨(b∧c).......(2)

把（2）代入（1）得 c=(a∧c)∨(b∧c)∨(a∧b)

（2）必要性：

显然a∧b≤(a∧c)∨(b∧c)∨(a∧b) 即a∧b≤c 而(a∧c)≤a≤a∨b,