(b∧c)≤b≤a∨b, (a∧b)≤a∨b
所以(a∧c)∨(b∧c)∨(a∧b)≤a∨b, 即c≤a∨b 所以a∧b≤c≤a∨b
2、 L1={0,a,b,1}, L2={0,a,e}, L3={a,c,d,1}, L4={0,c,e,1}。 晓津答案: L1：不是子格，其中a∨b=c不在L1中。 L2: 不是子格，其中a∨e=1不在L2中。 L3: 是子格。它是有界格 L4：不是子格,因为c,e的最大下界是b，并没有在L4中。 >的哈斯图如下图所示，问下述子集中，哪些是子格？哪些是有界 3、在下图中给出的L1，L2，L3，L4四个格中，确定各个格中元素的补元，并说明哪些是有补格，哪些不是有补格。 晓津答案： 在L1中：a的补元是c,b没有补元，c的补元是a. 在L2中：a的补元是d,b的补元是c,c的补元是b,d的补元是a. 在L3中：a的补元是e,b的补元是c和d,c的补元是b和d,d的补元是b和c，e的补元是a. 在L4中：a的补元是e,b的补元是c和d,c的补元是b,d的补元是d,e的补元是a. 除了L1以外，其他三个都是有补格。 4、证明：在有界格中，0是1的惟一补元，1是0的惟一补元。 晓津证明如下： 在有界格L中，因为0是最小元，1是最大元，因此0,1的最大下界和最小上界分别是0和1，即0∧1=0，0∨1=1.即0和1互为补元。 设在L中有其他元素a，使得a是0的补元，即0∧a=0且0∨a=1 因为0∨a=1是0和a的最小上界，则有a有a=1，即0只有唯一补元1. 同理可证1的唯一补元是0. 下面是阮同学的证明： 证明：显然，1∧0＝0，0∨1＝1，故0是1的补元 若1还有另外一个补元a，则 1∧a＝0，另1∧a＝a 1，又因为1是中最大元，所以只能 所以有a＝0 所以0是1的唯一补元 同理可证：1是0的唯一补元 5、证明：具有两个或更多元素的格中不存在以自身为补元的元素。 晓津证明： (1)设一有界格为L包含两个以上元素，若任意a∈L，且它的补元是自身a,则有a∨a=1,a∧a=0, 因为在格所诱导的代数系统满足幂等律a∨a=a,a∧a=a,即有a=1,a=0 也就是说a既是最大元又是最小元，L中只有一个元素。这与前提L中包含两个以上元素相矛盾。因此在L中不存在以自身为补元的元素。 阮同学的证明 证明：用反证法 设存在一个元素a，它是以自身为补元 则有a=a∧a=0，a=a∨a=1 a既是最大元，又是最小元， 则这个格只有一个元素a, 这和已知这个格有两个以上元素相矛盾。 6、设L为有限格， 证明：若 |L|≥3，且L是一条链，则L不是有补格。 晓津证明： |L|≥3 ,设任意a,b,c∈L，a b c,且b≠0,b≠1, 因为L是一条链，因此有b∨a=b,b∧a=a ,同时b∨c=c,b∧b=b,因为b≠0，b≠1，因此b不存在补元，所以L不是有补格。 阮同学的证明： 因为L是一条链，所以L是一个全序集 因为｜L｜≥3，所以必存在一个元素a,(a≠0,并且a≠1) 假设a有补元x，显然a≤x或x≤a， 若a≤x，则a＝a∧x=0 若x≤a，则a=a∨x=1 这和a≠0且a≠1相矛盾。 所以a没有补元，所以L不是有补格 7、证明：在有界分配格中，具有补元的哪些元素组成一个子格。 晓津分析： 在有界分配格中，具有补元的的元素集合中，包含0,1两个元素所有子集均可组成一个子格。 请学友帮着证明一下(如果上面的分析正确的话)： 下面阮允准同学的证明：(他的理解是所有补元的元素组成一个子格。) 设＜L，∧，∨，0,1＞是有界分配格，S是L中所有有补元的元素的集合 则S包含于L，显然0,1∈S，所以S非空。 设任意的a,b∈S，则必有c,d∈L，且它们分别是a,b的补元 即a∧c=0, a∨c=1,b∧d=0, b∨d=1 则(a∧b)∧(c∨d)=(a∧b∧c)∨(a∧b∧d)=(0∧b)∨(0∧a)=0 (a∧b)∨(c∨d)=(c∨d∨a)∧(c∨d∨b)=(1∨d)∧(1∨c)=1 所以a∧b∈S 同理可证：a∨b有补元c∧d，即a∨b∈S 所以∧，∨在S上是封闭的 所以S是L的子格。 4.7习题参考答案 1、设 晓津答案： 证明：a)因为 2、给定代数结构 ，其中 A={α,β,γ,δ}运算表如下： + α β γ δ α α α γ γ β α δ γ δ γ γ γ γ γ δ γ δ γ δ × α β γ δ α α β α δ β β β β β γ α β γ β δ β β δ δ ' α β γ δ α' δ γ β α 试证： 是布尔代数。 晓津证明如下： (1)从表中可见，各元素是关于主对角线对称分布的，因此满足交换律： (2)从表中可以验证，对任意a,b,c∈A有 (a∧b)∨c=(a∨c)∧(b∨c) (a∨b)∧c=(a∧b)∨(a∧c) 满足分配律。 (3)从表中可见，A中存在零元β,幺元γ使得任意a∈A，有a+β=a a×β=β a+γ=γ a×γ=a. 满足同一律。