自考2324离散数学第四章课后答案(5)

(4)对于任意a∈A，有 a+a'=γ a×a'=β

即满足补元律。

因此是一个布尔代数系统。

3、给定布尔代数

,⊙,',0,1>,且有a,b,c∈B,

试证： a) ab) a⊙(a'c) (a⊙b)

b)=a

(a'⊙b)=ab;

b;

(a⊙b')=a;

(a⊙b)=ab。

d) (a⊙b⊙c)

证明：a)a =(a

(a'⊙b)

b)

a')⊙(ab)

=1⊙(a =a

b

b)a⊙(a' =(a⊙a') =0

b) (a⊙b)

(a⊙b)

=a⊙b

c)(a⊙b) =a⊙(b =a⊙1 =a

(a⊙b') b')

d)(a⊙b⊙c) =(a⊙b)⊙(c =(a⊙b)⊙1 =a⊙b

4、在布尔代数，上定义如下，对任意 a,b∈B, a+b=(a∧b')∨(a'∧b),a.b=a∧b, 证明：是可交换的有单位元环。

证明：要证明是可交换的有单位元环，就是要证明是可交换群，是可交换群，且

·运算对于+运算是可分配的。而要证明一个代数系统是群，就要它满足封闭性、可结合性、存在幺元且对任一元素存在逆元。 证明过程略。

5、设是布尔代数，在B上定义二元运算a,b∈B, a证明：

b=(a∧~b)∨(~a∧b), >,构成abel群。

如下：

(a⊙b) 1)

证明思路同上一题，其实也就是证上题的前半部分。

6、对于题4中的二元运算 +和. ,证明： a) (a+b)+b=a b) a.(b+c)=a.b+a.c; c) a+a=0; d) a+0=a e) a+1=~a。

证明如下：因为已知此代数系统是一可交换的含幺环，则它满足交换律、结合律、分配律、

a) (a+b)+b =a+(b+b)

=a+((b∧b')∨(b'∧b)) =a+0

=(a∧0')∨(a'∧0) =(a∧1)∨0 =a

b) a.(b+c)(a∧b'∧a∧c) = a.b+a.c c)a+a

=(a∧a')∨(a'∧a) =0∨0=0

d)a+0

=(a∧0')∨(a'∧0) =(a∧1)∨0 =a

e)a+1

=(a∧1')∨(a'∧1) =(a∧0)∨a' =a' =~a