自考2324离散数学第四章课后答案(4)

d d a b c d a c a c 请回答： 它是一个交换环吗？它有乘法幺元吗？这个环中的零元是什么？并求出每个元素的加法逆元。

解：<{a,b,c,d},+△>少了个逗号。应该是<{a,b,c,d},+,△> 解：它是一个交换环。因为

可以发现△运算在运算表中关于主对角线对称，所以<{a,b,c,d},△>是可交换的，所以根据定理4.4.2得知其是一个交换环。 此处没有乘法幺元。环中的零元是根据后半部分运算来得到的。可以发现 a△x=a x△a=a，那么就可以判断 a是零元

每个元素的加法逆元： b元素的加法逆元是 d c元素的加法逆元是 c a的加法逆元是a。

2、设是一个环，并且对于任意的a∈A，都有 a.a=a ,这个环称布尔环，

证明：a)对于任意的a∈A,都有 a+a=θ，其中θ是加法幺元。 b) 是可交换环。 解：

a) jhju对教材一点看法： 环的定义中有这么一句：

是阿贝尔群，可是阿贝尔群是什么群呢？我翻了半天左孝凌的教材，没有这个名词的解释。无奈之中，只好翻了一下清华版教材，上面写着“若群G中的二元运算是可交换的，则称群G为交换群，也叫做阿贝尔群(Abel)群。而左孝凌的教材只写了一个abel群，并没有注明阿贝尔群。有的读者不是要被弄糊涂了？

浙江省考办在《计算机应用及教育》专业中《线性代数和离散数学》中指定的教材正是清华版的教材，而全国考办指定的教材不如省考办指定的教材。质

量是生命，我觉得全国考办也应该反思一下。 根据环的定义： 是个交换群。 根据题意θ是幺元， a+θ=a θ+a=a a+a=(a+θ)+(θ+a)

根据交换律与结合律： a+a=(θ+θ)+(a+a)

晓津看法，上面的证明并没有完成。我觉得题目中的a+a=θ是不是应该改为a+a=a?

b) a.(b+c)=a.b+a.c

3、在整数环中定义*和o两个二元运算，对任意 a,b∈Z 有： a*b=a+b-1 aob=a+b-ab

证明：是一个含幺环。

证明：可以很明显的看出 a*b 满足交换律、封闭性、结合律，故其是一个阿贝尔群

而 aob在Z中满足封闭性、结合律，故其是一个半群。 xo(y*z)=xo(y+z-1)=x+y+z-1-x(y+z-1)=x+y+z-1-xy-xz+x xoy*xoz=(x+y-xy)*(x+z-xz)=x+y+z-1-xy-xz+x 得:xo(y*z)=(xoy)*(xoz)

同理可得： (x*y)oz=(xoy)*(xoz) 可见： o对于*是可分配的 是一个环

在Z中，aob=a+b-ab 0ob=b bo0=b 可见0是o运算中的幺元。 含有幺元，则

是含幺环。

4、设R1，R2是环，在R1×R2中定义两个二元运算*和o，对任意,∈R1×R2，

*= o=。 a) 证明 构成一个环；

b) 若R1和R2是交换环（或含幺环），则R1R2也是交换环(或含幺环）。

c) 若R1和R2都是整环，R1×R2是整环吗？证明你的结论。 晓津证明如下： a)

因为R1，R2是环，则对于任意a1,a2∈R1有 a1+a2∈R1,a1*a2∈R1 ，R2同理。所以： (1)

对于任意,∈R1×R2 有

*=∈R1×R2 并有

*= 再设任意∈R1×R2，则显然有

*(*)=(*)* 同时有幺元e=<0,0>,使得： *<0,0>=

对任一元素有逆元<-a1,-b1>存在，使得 *<-a1,-b1>=<0,0>

可见在R1×R2中关于*运算是封闭的、可结合的、可交换的、存在幺元和各元素的逆元，因此它是一个阿贝尔群。

(2)对于任意的,∈R1×R2，有 o=∈R1×R2 若有∈R1×R2，则显然地有：

o(o)=(o)o 可见是一个半群。

(3)对于任意的,,∈R1×R2，则 o(*) =o = 可见o对*是可分配的。 因此是一个环。

b)要证明R1×R2是交换环(含幺环)只需在以上证明的基础上证明 可交换或含幺元。 如下：

因为R1，R2是交环，则对于a1,a2∈R1及b1,b2∈R2，有a1a2=a2a1、b1b2=b2b1, 因此若有任意,∈R1×R2

则

o= o= 它们是相等的，即o运算可交换。

同样的，R1有幺元e1,R2有幺元e2,则对于任意∈R1×R2，有 o= 即有幺元e=

可见，R1×R2是交换环(或含幺环)

(c)要证其为整环，则还需证明中无零因子。如下：

任取,∈R1×R2，且≠<0，0> ，o=<0,0> 则有=0

由 ≠<0,0>

，R1,R2是整环，则 a1a2=0且a1≠0时，必有a2=0， b1b2=0且b1≠0时，有b2=0, 所以有=<0,0>=0

因此在R1×R2中满足消去律，可证R1×R2中无零因子。

5、证明有限整环必定是域。 晓津证明如下：

(1)设是一个整环，则A必有幺元。 (2)同时每个非零元都有逆元。

6、证明环的直积也是环。所谓环的直积指：,直积。

定义为：任意,∈R×R' △= □=

晓津提示如下：本题与第4题基本相同，就是更复杂些，在此就不证了，哪位同学把证明过程写出来好吗?

7、设和是两个代数系统，如果从A到B的映射f，满足如下条件：对任意

a,b∈A有： a) f(a+b)=f(a)f(b); b) f(a.b)=f(a)f(b);