2013年9月
22．1. 二次根式（1）
教学内容： 二次根式的概念及其运用
教学目标：1、理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目． 2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键：1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题． 教学过程：一、回顾
当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根． 当a是零时，a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根． 当a是负数时，a没有意义．
二、概括：a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，它的平方
2等于a．即有： （1）a≥0（a≥0）； （2）(a)=a（a≥0）．
形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．
注意：在二次根式a中，字母a必须满足a≥0，即被开方数必须是非负数．
三、例题讲解
例题： x是怎样的实数时，二次根式x?1有意义？
分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数．
解： 被开方数x-1≥0，即x≥1．
所以，当x≥1时，二次根式x?1有意义．
思考：a2等于什么？
我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律：
概括: 当a≥0时，a2?a； 当a＜0时，a2??a．
这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”
出来，从而达到化简的目的．例如：
； 4x2?(2x)2=2x（x≥0）
x4?(x2)2?x2．
四、练习: x取什么实数时，下列各式有意义.
2(x?3)3?4x3x?2（1）； （2）； （3）； （4）3x?4?4?3x
五、 拓展
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例：当x是多少时，2x?3+ 分析：要使2x?3+1在实数范围内有意义？ x?111在实数范围内有意义，必须同时满足2x?3中的≥0和中的x+1≠0． x?1x?1 解：依题意，得? 由①得：x≥-
?2x?3?0
?x?1?03 2 由②得：x≠-1 当x≥-
31且x≠-1时，2x?3+在实数范围内有意义． 2x?1x的值．(答案:2) y例：(1)已知y=2?x+x?2+5，求
2004
(2)若a?1+b?1=0，求a+b2004的值．(答案:
2) 5六、 归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：
1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 七、布置作业：教材P4：1、2 八、反思及感想：
22.1 二次根式（2）
教学内容：1．a（a≥0）是一个非负数； 2．（a）2=a（a≥0）．
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教学目标：1、理解a（a≥0）是非负数和（a）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．
2、 通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．
教学重难点关键：1．重点：a（a≥0）是一个非负数；（a）2=a（a≥0）及其运用．
2．难点、关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；?用探究的方法导出（a）2=a
（a≥0）．
教学过程： 一、复习引入（学生活动）口答 1．什么叫二次根式？
2．当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？
二、探究新知
议一议：（学生分组讨论，提问解答）
a（a≥0）是一个什么数呢？
老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出
a（a≥0）是一个非负数． 做一做：根据算术平方根的意义填空：
（4）2=_______；（2）2=_______；（9）2=______；（3）2=_______；
（
1272
）=______；（）=_______；（0）2=_______． 32 老师点评：①、4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，
②、4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）2=4．
同理可得：（2）2=2，（9）2=9，（3）2=3，（121727）=，（）=，（0）2=0，所以 ：（a）2 = 3232a（a ≥ 0） 三、例题讲解
例1 计算： 1．（325272
） ， 2．（35）2 ， 3．（） ， 4．（） 262 分析：我们可以直接利用（a）2=a（a≥0）的结论解题．
解：1. （323） =， 2.（35）2 =32·（5）2=32·5=45， 22第 3 页 共 89 页
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52572(7)27?． 3.（）=， 4.（）=262426 四、巩固练习
计算下列各式的值：
（18）2 （ 五、应用拓展
例2 计算
1．（x?1）2（x≥0），2．（a2）2 ，3．（a2?2a?1）2 ，4．（4x2?12分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；
（2）a2≥0；
（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；
（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．
所以上面的4题都可以运用（a）2=a（a≥0）的重要结论解题．
解：（1）因为x≥0，所以x+1>0,（x?1）2=x+1 （2）∵a2≥0，∴（a2）2=a2
（3）∵a2+2a+1=（a+1）2 , 又∵（a+1）2≥0，
∴a2+2a+1≥0 ，∴a2?2a?1=a2+2a+1
（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 , 又∵（2x-3）2≥0
∴4x2-12x+9≥0，∴（4x2?12x?9）2=4x2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式:
22729222） （） （0）2 （4）(35)?(53) 3849x?）2
（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3
六、归纳小结：本节课应掌握：
1．a（a≥0）是一个非负数； 2．（a）2=a（a≥0）;反之:a=（a）2（a≥0）．
七、布置作业：教材P4：3、4 八、反思及感想：
22.1 二次根式（3）
教学内容
a2＝a（a≥0）
教学目标：1、理解a2=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．
2、 通过具体数据的解答，探究a2=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键：1．重点：a2＝a（a≥0）．
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2．难点：探究结论．
3．关键：讲清a≥0时，a2＝a才成立． 教学过程： 一、复习引入：（老师口述并板收上两节课的重要内容） 1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式； 2．a（a≥0）是一个非负数； 3．(a)2＝a（a≥0）．
那么，我们猜想当a≥0时，a2=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知：（学生活动）填空：
22=_______；0.012=_______；(110)2=______；
(23)2=________；02=________；(37)2=_______． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：
22=2；0.012=0.01；(1)2=1；(2)2=2；0233101033=0；(7)2=7． 因此，一般地：a2=a（a≥0） 三、例题讲解：
例1 化简：（1）9 （2）(?4)2 （3）25 （4）(?3)2 分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，
所以都可运用a2=a（a≥0）?去化简．
解：（1）9=32=3 （2）(?4)2=42=4
（3）25=52=5 （4）(?3)2=32=3 四、巩固练习：（见小黑板） 五、应用拓展
例2 填空：当a≥0时，a2=_____；当a<0时，a2=____，?并根据这一性质回答下列问题．
（1）若a2=a，则a可以是什么数？ （2）若a2=-a，则a可以是什么数？ （3）a2>a，则a可以是什么数？
分析：∵a2=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（第 5 页 共 89 页
2”中的数
）