real Re?ak?ak : even
Im?ak??ak: odd
real and even real and even real and odd imaginary and odd 周期信号频率分量的计算 （例 P.38） 要点：
?0?2?/P
2.4 利用简单分解求cm
A(常数）???FSc?Am?0m?? ?0m?0Bejn?0t???FSc?Bm?nm???0m?n 2.5 利用公式求矩形脉冲的cm
x?t????1t?aFS2sinm?0a?0其余t???cm?m?P
02.6 利用公式求冲激串（sampling function）的cm
?r?t?????t?kT????FSc1m?
k???T周期信号的时间范围：(??,?) 双边信号 一般周期信号的频率范围：(??,?) 若对于所有的
m?M,cm?0，则称为带限信号；
频率分量的意义：
平均功率: 只与magnitude有关 phase的影响：对信号波形的影响 对视频有影响，对音频没有影响 DTFS（离散时间付氏级数） 定义式
x?n??
c?1?jm?md0nTm?cmdejm?0nT ?NNx?n?en??N
6
频率分量讨论：
cmd的周期性 只有N个独立系数
共轭对称性：奇偶性 m的取值范围：应使
m?0?2?m/NT的范围为(??/T,?/T]
时移的影响： 线性相位变化 例 p.48—54
2.8 利用公式直接计算系数 N=3
2.9 利用公式直接计算系数 N=4
2.10 时移的作用
时移不影响DTFS系数的幅度，只在系数中加入线性相位；
7
利用MATLAB计算频率分量 DTFS系数的FFT计算
重要函数 c=(1/N)*fft(x) x=N*ifft(c)
应用要点：x和c的序列都为N个元素，下标排列都为[ 1 …..N]，分别对应于离散时间n [0….N-1]和离散频率 m [0….N-1]；
DTFS可以利用任何一个周期进行计算；
在采用FFT的时候，输入数据必须从n=0到N-1；
利用shift（）函数（P.56）可以使频率向量排布在对称区间内：
N为odd时，下标0在正中，N为even时，下标0偏左； 利用m=ceil(-(N-1)/2):ceil((N-1/2)可以得到对应的横坐标； 注意：c为周期序列，周期为N； 例2.8题的求解 N=3;T=0.5; x=[-2 1 –0.6]; 例2.9题的求解 N=4;T=1; x=[ 2.5 -0.4 1 -2]; %program 2.2
N=3;T=0.5; x=[-2 1 –0.6]; D=2*pi/(N*T); X=fft(x/N);
m=ceil(-(N-1)/2):ceil((N-1)/2); w=m*D;
subplot(2,1,1),stem(w,abs(shift(X))),title('(a)');
subplot(2,1,2),stem(w,angle(shift(X))*180/pi),title('(b)'); CTFS系数的FFT计算
问题：x为连续信号；m取值范围为无限大区间； 方案：在一个周期内取N点对x进行采样（离散化）； 求出DTFS系数---周期序列；
取主值范围内的序列即为对应CTFS系数；
当x为带限信号时，在满足采样定理条件下可以得出准确的CTFS系数； 例 2.4题的求解 2.12 %program 2.2
P=2*pi/0.3;N=11;T=P/N;D=2*pi/P; n=0:N-1;
x=-1.2+0.8*sin(0.6*n*T)-1.6*cos(1.5*n*T); X=fft(x/N);
m=ceil(-(N-1)/2):ceil((N-1)/2); w=m*D;
subplot(2,1,1),stem(w,abs(shift(X))),title('(a)');
subplot(2,1,2),stem(w,angle(shift(X))*180/pi),title('(b)');
对于带限信号，在满足采样定理的条件下，不同大小的N值（采样数量）得到的幅频分量相同；
若采样周期不够小，则将产生频率混叠失真； 例2.3 频率混叠的影响 例2.5题的求解
通过改变采样点数量N，可以比较混叠的影响大小 %program 2.4
8
hold on;
N=42;P=4;T=P/N;D=2*pi/P; q=floor(1/T);
x=[ones(1,q+1) zeros(1,N-2*q-1) ones(1,q)]; X=fft(x/N);
m=ceil(-(N-1)/2):ceil((N-1)/2); stem(m*D,shift(X),'b','fill');
对于在足够逼近条件下，magnetude可以得到足够良好近似值；（能量逼近）；但计算出的phase不会得出良好近似值（通常不采用）；
关键：N的选取（足够大以获得良好近似，足够小以减少运算量） 根据设定的精确度，求出最小的N：
令N=2n，选定n的特定值，再逐1增加；重复计算在Nyquist范围内的系数差，直到
系数差小于设定值为止；
例2.6 根据设定最大误差，自动选取最小采样点数量，并求出满足要求的频谱 例2.5题的求解 % program 2.6
a=1;b=100;P=4;D=2*pi/P;beta=1; while b>beta
N1=2^a;T1=P/N1;q1=floor(1/T1);
x1=[ones(1,q1+1) zeros(1,N1-2*q1-1) ones(1,q1)]; X1=fft(x1/N1);
N2=2*N1;T2=P/N2;q2=floor(1/T2);
x2=[ones(1,q2+1) zeros(1,N2-2*q2-1) ones(1,q2)]; X2=fft(x2/N2); m1p=0:N1/2;
d=max(abs(abs(X1(m1p+1))-abs(X2(m1p+1)))); mm=max(abs(X1(m1p+1))); b=d/mm*100; a=a+1; end N2,b
m=-N2/2+1:N2/2;
stem(m*D,abs(shift(X2)));
对此程序作少数改动可以得到对其他信号的计算：
P.73 例2.14
平均功率计算 CT信号
Pav?Pav?m???N?1?cmm?0?2
DT信号 例2.15
?cmd2
9
分别采用时域序列和频谱序列求信号平均功率 例2.4题的信号功率 %program 2.8
P=2*pi/0.3;N=11;T=P/N; n=0:N-1;
x=-1.2+0.8*sin(0.6*n*T)-1.6*cos(1.5*n*T); P1=sum(x.^2)*T/P X=fft(x/N);
P2=sum(abs(X).^2) 例2.16
采用频谱序列求信号平均功率 例2.5题的信号功率 %program 2.9 N=1024;D=2*pi/4;
x=[ones(1,257) zeros(1,511) ones(1,256)]; X=fft(x/N); mu=floor(5/D); m=2:mu+1;
p=abs(X(1))^2+2*sum(abs(X(m)).^2)
第三章 CTFT和DTFT---一般信号的频谱 实际信号都是非周期信号（非双边信号） 周期信号对应于离散频率分量（离散频谱） 非周期信号对应于连续频谱
CTFT 连续时间信号的付氏变换 定义式
x?t??1?2????X???ej?td?
X????????x?t?e?j?tdt 频谱
存在条件：x?t?绝对可积，而且在一个周期内间断点和极值点有限； 3.1 e
at
u(t) 的频谱x?t??eatu?t???FT?1j??aa?0 例
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