T=0.5;a=1;b=100;beta=1; while b>beta
N1=2^a; n1=0:N1-1; x1=0.9.^n1;X1=fft(x1); N2=2*N1; n2=0:N2-1; x2=0.9.^n2;X2=fft(x2); m1p=0:N1/2;
d=max(abs(abs(X1(m1p+1))-abs(X2(2*m1p+1)))); mm=max(abs(X1(m1p+1))); b=d/mm*100;a=a+1; end N2,b
连续时间信号的频谱计算
当连续时间信号不能表达为闭合形式时，只能采用数值计算；
连续信号的计算必须先在长度为L的区间内经时间采样（周期T）成为N点序列，才能进行计算；
本节只考虑绝对可积的连续时间信号； 正区间信号 （t<0时，x=0）
选择信号区间[0，L]：L=TN 需考虑的问题：
频率混叠---T 尽可能小 频率分辨率---N 尽可能大 截断效应---L 尽可能大
计算量---N 尽可能小 建议步骤：
首先选择L使其包含x明显不为0的主要区域；
然后寻找最小的a，使得采用N=2a点序列和N/2点序列计算之差在指定误差范围（幅频特性峰值的百分比）内，由此确定使频率混叠可以忽略的采样周期T；
利用已确定的T，寻找最小的a，使得采用N=2a点序列和N/2点序列计算之差在指定误差范围（幅频特性峰值的百分比）内，由此确定使截断效应可以忽略的信号区间L；
采用上述方式，可以使幅频特性、频谱实部及虚部均收敛于实际频谱，只有相频特性不收敛；
例 P.165—170
连续时间周期信号的频谱计算
对于周期信号，由于无限长而且不满足绝对可积条件，将其截断时必然产生严重的截断效应（频率漏泄）；
周期信号在频谱中对应于冲激，其特点为：当N加倍时，冲激高度加倍，宽度变窄；由此效应可判断频谱中是否存在周期信号。
对周期信号应采用CTFS进行计算：在一个周期内计算频谱。计算可以得出精确的幅频特性，但通常不能得到准确的相位（相位与延时有关）。 由频谱计算离散时间信号 （反变换）
对反变换进行数值计算时，同样可以利用FFT函数进行；
对于存在于对称区间内的频谱，计算开始前必须按周期扩展方式，选取以0为起点的周期中的序列；
对频谱采样点N的选取应确保消除时域混叠效应，其判据为：所得时域信号有一段区域全为0；
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由于DFT是由时域信号经过周期扩展后，任选一个周期计算所得，因而一次反变换通常无法确定时域信号的原始起点；采用不同的N进行多次反变换，对比其公共序列，可以确定出原始时间序列的起点：不同的N对应于不同的补0序列，这些序列由于周期长度不同除了在原周期内一致外，在其他地方通常会有差异； 例：P.175—178 图 4.21 4.22 4.23
若某频谱所对应的时间序列为正区间信号，并且频率采样点N大于从n=0开始的时间序列长度，则由inverse FFT计算出的序列就是原始序列。 由频谱计算连续时间信号 （反变换） 首先对无限的频谱进行截断：
选择T使得
X????0???/T
然后对连续频谱采样离散化：
在有限区间(??/T,?/T]内选取N个频率采样点；
采用inverse FFT计算得到时间序列：
x?n??x?nT?
连续时间信号与时间序列的关系为：
x?t??x?nT? T例 P.180—182
采用FFT计算信号能量
对于连续信号xFT?t?????X???，其总能量为 2E???t???1x?t?dt?2??????N?1n?0?X???d?
22将有限区域内将时间信号离散化，得到：
x?t????x?nT? E??x?nT?T
利用FFT可以得出离散时间序列x为：
?nT?的离散频谱Xd???，则其能量也可以表示
TE?NN?1n?0?Xd?m?2
例 P.183—184
求矩形窗频谱主瓣的能量百分比；
频谱计算总结：
在信号分析时，考虑信号分布于全部时间区域有利于频域分析的简化；
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但在进行FFT计算时，正区间信号比较简便；
对于连续信号，信号出现的时间可以选为t=0，因此所有实际信号都可以看作为正区间信号；
利用fft和shift函数进行正变换，可以直接得到(?将对称区间的频谱变换到[0,2?/T,?/T]区间的频谱；
利用ifft函数可以得到原始的时间序列（选?/T)区间，
择N使得得到的非零序列的最后若干位实际上全为0）；
第5章 线性时不变集总系统
系统：信号之间的关系 输入信号—系统处理---输出信号
确定的输入只产生唯一确定的输出
x?t????连续系统???y?t? x?n????离散系统???y?n?
线性系统
可加性 x1?n??x2?n????y1?n??y2?n? 比例性 axi?n????ayi?n?
时不变系统 时移不变性
x?n?n1????y?n?n1?
对于时不变系统，可以将输入信号开始出现的时间设置为0；
初始松弛条件
x?n??y?n??0n?0 系统初始状态为0；
在系统分析中，通常只考虑正时间区间 [0,?) ； 线性时不变系统---LTI系统 x?n????y?n?
LTI系统的卷积描述
冲激序列 ??n?k????1n?k?0n?k
只在一个时刻取值为1，在其他任何时刻取值为0； 任意信号序列可以用冲激序列表示：
???xn??x?k???n?k?
k?0冲激响应
??n????h?n?
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x?n???x?k???n?k????y?n???x?k?h?n?k?
k?0k?0??离散卷积
x?n??h?n???x?k?h?n?k?
k?0??n?可以得出系统的全部特性，设计系统就是设计系统的冲激响应； 由系统冲激响应h例5.1 由系统特定输入输出求h?n?，进而得出y?n?的一般形式； 例5.2 由h?n?求系统的差分方程（移动平均滤波器）； 因果性 h?n??0n?0
输出信号产生于输入信号之后；
物理系统实现的必要条件； nn对于因果系统，y?n???x?k?h?n?k???h?k?x?n?k?
k?0k?0卷积具有交换性。
系统的表达：冲激响应---序列h?n?
FIR滤波器 有限冲激响应 长度N为有限
例如：移动平均系统 无记忆系统（乘法器） IIR滤波器 无限冲激响应
LTI系统的差分方程描述
在卷积描述中，随着n的增加，y?n?的计算量增加；
利用差分方程，可以有效减少计算量和存储量； 例5.1 储蓄系统
y?n??1.0001y5?n?1??x?n?
系统流程图 （系统硬件实现的一种具体方式）
只由3种基本单元组成
单位延迟 乘法器 加法器 （P.201 图5.3） 差分方程与系统流程图很容易相互表达； 集总系统：可以用有限个延迟器实现；
任何LTI系统都可用卷积描述，只有集总系统可以采用差分方程描述；
差分方程的一般形式：
?KMaky?n?k?1???bmx?n?m?1? （后向差分）
k?1m?1
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系统的表达：序列a 序列b 递归方程
y?n???a2y?n?1??a3y?n?2?...?b1x?n??b2x?n?1??...
当前输出与以前的输出有关：系统中存在反馈； 与IIR系统对应；
非递归方程：除了a1外，所有ak都等于0；
y?n??b1x?n??b2x?n?1??...
当前输出与以前的输出无关：系统中不存在反馈； 与FIR系统对应； 与冲激响应的关系：
y?n??h?0?x?n??h?1?x?n?1??...
系数序列即为冲激响应序列 （序列b与序列h对应）； FIR系统也能表达为递归方程以减少运算量： 例 5.3
采样周期与实时处理过程
在实时处理过程中，采样周期受运算周期限制，不能过小；
在非实时处理（存储处理）时，可以不受运算周期和因果性的限制；
z-变换 系统表达的重要工具 定义：对于正区间信号
x?n?，其z-变换定义为
?X?z???x?n?z?n
n?0例5.4 z-变换的计算：直接利用定义式和求和公式； 反z-变换：长除法，对z进行降序排列； 收敛域问题：保障求和有限的z的可能取值区间；
ROC
z:?a,??
简单信号的z-变换：只考虑正区间，n从0开始
??n?k????zz?k ??n?1????zz?1 单位延迟 bn???z1z1?bz?1?z?b 时移性质
若x?n????zX?z?，
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