Xd????Xd???2?/T? 具有周期性
x?n? 可以表达为任何一个周期上的积分
主值区域：???T????12f?1Ts?f2fs 例 3.6 anu[n] 的频谱
x?n??anu?n?????FT11?ae?j?Ta?1
P.109 图3.11
例 3.7 离散时间矩形窗口函数wd[n]的频谱
x?n??wn????1n?MFTsin(0.5N?T)d??0n?M????sin(0.5?T)
N=2M+1 P.110 图3.12
16
与连续时间窗口类似，离散时间窗口的频谱在一个周期内也产生主瓣与旁瓣，频谱零点
位于??m2?NT处；主瓣高度为N；旁瓣只有N-2个；
例3.8 数字理想低通滤波器
hsin??1???cd?n??cn?n????FTHd??????0???
c （P.112 图3.13）
DT周期信号的频谱 标准信号
ejn?0T????FT2?T?????0?
17
1????FT2?T????
时域冲激串对应于频域冲激串
一般周期信号
将DT周期信号先展开为DTFS，再进行逐项变换；
x?n???0nT????FTXd????m?cmdejm?Nm?2?Tcmd????m?0??N
截断的影响
对无限长时间DT信号进行计算时，必须进行截断；
时域截断模型：以窗口函数乘以时间函数
x?n??wd?n?
?/T频域对应卷积：XTd????Wd????2????/TWd???Xd?????d?
其中 W????sin0.5N?Tdsin0.5?T N=2M+1
截断效果 P.116 图3.14
使单频率展宽，出现主瓣（高L=2a、宽4π/L）和旁瓣（高<0.2L、宽2π/L）； 对于有限带宽信号，截断导致带外泄露（能量）和纹波现象； L越小，上述效应越显著。
矩形窗截断必然导致Gibbs现象 P.117 图3.15 连续信号的离散化
连续信号不能进行数值计算，必须离散化为离散信号； 连续信号离散化过程称为采样过程； Nyquist 采样定理
理想采样：利用冲激串相乘使连续时间信号离散化
18
1?2?m??xs?t??x?t????t?nT?????Xd?????X????
Tm????T?n???FT? 时域离散化 频域周期性复制
恢复采样信号的条件：
1
带限信号
X????0for??W
存在最高频率 2
采样频率fsfmax?W/2?
?1/T?2fmax（Nyquist rate）
满足上述条件时，可通过频域的低通滤波（截止频率为fs/2）分离出原始频谱，恢复
信号；
该操作等效于时域的理想内插恢复（在每个采样点插入连续取样函数）。 频率混叠问题
不满足条件2时，可能产生部分混叠（高频），低频信号可恢复； 不满足条件1时，总是产生混叠；
当CT信号能量有限时，可以增大T使得混叠影响足够小； 对信号进行预先低通滤波是消除混叠的有效方式。
时限带限理论
任何非零连续信号都不可能即为时限又为带限；
利用数字技术处理连续信号时必然需要截断，必然产生误差；
在一定误差范围内，有限能量的连续信号可以近视看作为时限带限信号，并利用数字技术处理。
音频信号的实际处理过程
模拟信号---采样及零阶保持---ADC---数字编码信号
数字编码信号---DAC---零阶保持信号---低通滤波---模拟信号 DT周期信号的频谱 标准信号
19
ejn?0T2?2?FT?????????0? 1????????
TTFT时域冲激串对应于频域冲激串
一般周期信号
将DT周期信号先展开为DTFS，再进行逐项变换；
x?n??m?NFTjm?0nTce????Xd?????mdm?N?2?cmd????m?0? T
截断的影响
对无限长时间DT信号进行计算时，必须进行截断；
时域截断模型：以窗口函数乘以时间函数
x?n??P2m?n?
T频域对应卷积：Xd????Wd????2? Wd???/TWd???Xd?????d?
?/T????sin0.5N?T 离散取样函数 N=2M+1
sin0.5?T截断效果 P.1116 图3.14
使单频率展宽，出现主瓣（高L=2a、宽4π/L）和旁瓣（高<0.2L、宽2π/L）； 对于有限带宽信号，截断导致带外泄露（能量）和纹波现象； L越小，上述效应越显著。
矩形窗截断必然导致Gibbs现象 P.1116 图3.14
Nyquist 采样定理
采样：利用冲激串相乘使连续时间信号离散化
?12?m??FTxs?t??x?t????t?nT?????Xd?????X????
Tm????T?n????恢复采样信号的条件：
3
带限信号
X????0for??W
存在最高频率 4
采样频率fsfmax?W/2?
?1/T?2fmax（Nyquist rate）
/2）分离出原始频谱，恢复信号；
满足上述条件时，可通过频域的低通滤波（截止频率为fs该操作等效于时域的理想内插恢复（在每个采样点插入连续取样函数）。
频率混叠问题
不满足条件2时，可能产生部分混叠（高频），低频信号可恢复；
20