第一章 解三角形
1.1.1 正弦定理
一、选择题
（1）解：由正弦定理得：选（A）.
43?42sinB?sinB?22sin60?故B?45?. .又?a?b,?A?B，
(2)解：选(C). A??6,B??3,C??2,a:b:c?sinA:sinB:sinC?1212:32:22?1:3:2
（3）解：b?2asinB?sinB?2sinAsinB?sinA?150?. 选(D)
(?sinB?0)，?A?30?或
（4）解：a?b?2RsinA?2RsinB?sinA?sinB. 选(C) 二、填空题 (5)解：
bsin45??3sin60?12?b?2.
(6)解：
2393 S?ABC?bcsinA?12c?3?23c,?a4,?2a1?3, 13
a?b?csinA?siBn??sCina132??sAin3239
3（7）解：
3sin30??33sinC0?C?60?或120?. C=60时，A?90,a=
0 0 C=120时, A?30,a=3故a=6或a=3 三、解答题
（8）请用向量法证明正弦定理.
如图在?ABC中，AB?CD
???????????? 证明：由已知可得：CA和CB在CD方向上的投影相等。
??????????所以，|CA|cos(?A)?|CB|cos(?B)
220
C 所以，bsinA?asinB 所以 同理可得：
asinA?csinCasinA?bsinB
A D B
1
1.1.2余弦定理
一、选择题
（1）解：由余弦定理a?8?3?2?8?3cos60??7. 选（C） 20222（2）解：由余弦定理cosB??21?29222?20?21?0. 选（A）
（3）解：设a?3x,b?5x,c?7x，最大角为C.
(3x)?(5x)?(7x)2?(3x)?(5x)222cosB???12.?C?120?. 选（C）
(4)解： (a?b?c)(b?c?a)?3bc,(b?c)2?a2?3bc,
b?c?a2bc222 b?c?a?3bc,cosA?二、填空题 （5）解：cosB?222?12,A?60 选（B）
03?2?(7)2?3?222222?12. ?B?60?.
(6)解：由余弦定理c?44?6?2?4?6cos120??76sin120?571976,
再由正弦定理
sinA?32?sinA?.
(7) 解：将2b?3c?b?222222c及a?319代入a?b?c?bc得：c?6,因此b?9,
另一方面由a?b?c?bc?A?120?.
?S?ABC?12bcsinA?12?9?6sin120??2723.
三、解答题
（8）请用向量的方法证明余弦定理.
如图，在△ABC中，AB、BC、CA的长分别为c，a，b，
∵AC＝AB＋BC，根据向量的数量积得：
2
AC·AC＝（AB＋BC）·（AB＋BC）＝AB2＋2AB·BC＋BC2＝AB2＋
2|AB||BC|cosθ＋BC2
其中，θ是向量AB与BC的夹角，θ＝180°－B
∴AC2＝AB2＋2|AB||BCcos（180°－B）＋BC2＝c2－2accosB＋a2
222
即b＝c＋a－2accosB．
222222
同理可证：a＝b＋c－2bccosA，c＝a＋b－2abcosC．
1.1.3正弦定理、余弦定理应用 .
一、选择题
（1）解：法一：acosA?bcosB?a?b?c?a2bc222?b?a?c?b2ac222
变形整理得(a2?b2)(c2?a2?b2)?0?a?b或c2?a2?b2.故?ABC为等腰三角形或直角三角形.
法二：acosA?bcosB?sinAcosA?sinBcosB?sin2A?sin2B. 又?0?A,B?180?,?A?B或A?B?90?（即C?90?)，故?ABC为等腰三角形或直角三角形. 选(B)
（2）由根与系数关系得a?b?23,ab?2.又由2sin(A?B)?3?0?sinC?322.
?C?60?. 由余弦定理c? 因为C为锐角，a?b?2abcos60??22a?b?ab
2 ?(a?b)?3ab?2(23)?3?2?26. 选(C)
（3）解：选C sinA?cosA?2sin(A??),
4而0?A??,?42?A?2?4?25?4??2222?sin(A?2?4)?1
1A??,20（4）解：C a?c?b?b,cb?二、填空题
（5）解：由正弦定理
sin3?3sinCc?a??,bcocsA?1 20?6?sinC?32?C??3或
2?3.
当C?当C??32?3时，A??2,由勾股定理得a?b?c3.
22?23;
时，A?B??6，a?b? 3
(6) 7 三、解答题
（7）解： ∵A、B为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB≠0．
∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝． 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
（8）在?ABC中，?A、?B、?C所对的边长分别为a、b、c，设a、b、c满足条件
c?12?3b?c?bc?a和b222，求?A和tanB的值
分析：本题考查余弦定理、正弦定理、两角差的正弦公式、同角三角函数的基本关系等基础
知识，考查基本运算能力..
cosA?b?c?a2bc222?12，
解法一：由余弦定理
因此，?A?60? 在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.
1?3?cb?sinCsinB?sin(120??B)sinB
由已知条件，应用正弦定理2
?sin120?cosB?cos120?sinBsinB?32cotB?12
,解得cotB?2,从而
tanB?12
22.cosA?b?c?a2bc2?12，
解法二：由余弦定理
222因此，?A?60?，由b?c?bc?a，
a2c2c1()?1?()??1??bb4得b3?3?12?3?15.4
a
所以b?152. ①
basinA?215?32?15.
sinB? 由正弦定理
4
由①式知a?b,故∠B<∠A，因此∠B为锐角，于是
tanB?sinBcosB?1.2
cosB?1?sin2B?215，
从而
1.2.1 应用举例
一、选择题
（1）已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40?， 灯塔B在观察站C的南偏东60?，则灯塔A在灯塔B的 （ B ） (A)北偏东10? (B)北偏西10? (C)南偏东10? (D)南偏西10? （2）某海轮以30海里/小时的速度航行，在点A测得海面上油井P在南偏东60?， 向北航行40分钟后到达点B，测得油井P在南偏东30?，海轮改为北偏东60?的 航向再航行80分钟到达点C，则P，C两点间距离的海里数是 （ A ） (A)207 (B)206 (C)203 (D)103 二、解答题
（3）如图，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，
测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。
C 解：由正弦定理得
ACsin?CBA?ABsin?ACBA
1212D
B
，∴
AB?ACsin?CAB?AC=AB=120m，又∵S?ABC?AB?CD，解得CD=60m。
（4）解：由已知，在△CDB中，CD ＝21，DB ＝20，BC ＝31，
据余弦定理，有cos ∠CDB ＝
CD2?DB2?BC22CD?DB473．
＝－
17．
∴ sin ∠CDB ＝1?cosCDB＝
2 5