在△ACD中，∠CAD ＝20°＋40°＝60°， ∴ ∠ACD ＝∠CDB －∠CAD ＝∠CDB －60°． ∴ sin ∠ACD ＝sin（∠CDB －60°）
＝sin ∠CDB cos 60°－cos ∠CDB sin 60° ＝
473×
12－（－
17）×
32
＝
5314．
由正弦定理，得 AD ＝
CDsin?CAD· sin ∠ACD ＝15（千米）．
答：此人距A城15千米．
1.2.2 应用举例
一、选择题
(1)一电线杆被台风吹断折成60?的角，电线杆根部与电线杆顶部着地处相距3米，则 电线杆原来的高度是 （ C ） (A) 53米 (B) 43米 (C) 33米 (D)3米
(2)山坡与水平面成30?角，坡面上有一条与山底坡脚的水平线成30?角的直线小路，某人沿
小路上坡走了一段路后升高了100米，则此人行走的路程为 （ C ） (A) 300米
二、解答题
(3)解：在△BCD中，?CBD?π????． 由正弦定理得
BCsin?BDC?CDsin?CBD(B) 400米 (C) 200米 (D) 2003米
．
所以BC?CDsin?BDCsin?CBD?s·sin?sin(???)．
在Rt△ABC中，AB?BCtan?ACB?
s·tan?sin?sin(???)．
(4) 在塔底的水平地面上某点测得塔顶的仰角为?，由此点向塔底沿直线走30米，
6
测得塔顶的仰角为2?，再向前走103米，又测得塔顶的仰角为4?，求塔高. 解：设?A??,?BDC?2?,?BEC?4? EC?x，
BADEC则 根据勾股定理得302?(x?103)2?(103)2?x2，解得x?53. BC?BE2?EC2?15,答：塔高是15米。
1.2.3 应用举例
解答题
（1）解：设所需时间为t小时，在点B处相遇（如图）
在△ABC中，?ACB = 120?, AC = 100, AB = 21t, BC = 9t, 由余弦定理：
(21t)2 = 102 + (9t)2 ? 2×10×9t×cos120? 整理得：36t2 ?9t ? 10 = 0 解得：t1?23,t2??512 C 45? A (9?23)?2332?3314105? B
（舍去）
由正弦定理
ABsin120??BCsin?CAB?sin?CAB?
21?∴?CAB = arcsin
3314.
(2) 解：连接BC,由余弦定理得BC=20+10－2×20×10COS120°=700.
于是,BC=10
sinACBsin120?7. ∵，∴sin∠ACB=?20107222
37，
北
∵∠ACB<90°，∴∠ACB=41°。
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援. (3)解：因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，所以 AG＝
23?32＝33A A10 ?C 20 ，?MAG＝
?6B ?
，由正弦定理
GM＝sin6GA（s?－i?n－??6得GM＝）36sin（?＋?6，则S1＝
）B?MDNC 7
12GM?GA?sin?＝
sin?12sin（?＋?6。同理可求得S2＝
）sin?12sin（?－?6.
）1tana2（2）y＝?32?31y12＋1y22＝
1442sin?〔sin（?＋2?32?6）＋sin（?－2?6＝72（3＋）〕?2）因
为???，所以当?＝
?3或?＝
时，y取得最大值ymax＝240，当?＝
时，y取得
最小值ymin＝216.
全章检测题
一、选择题
（1）解：D sinA?sin2B?2sinBcosB,a?2bcosB （2）解：由余弦定理得： ABsinC?3sin?AB?23sinC，
ACsinB?3sin?AC?23sinB，
?3?3??ABC周长为AB?BC?CA?23sinC?23sinB?3 ?23sin(2?3?B)?23sinB?3?6sin(B??6)?3. 选（D）
(3)解：因为a、b、c成等比数列，所以b2?ac. 由余弦定理得：cosB=
a?c?b2acπ3222≥2ac?ac2ac=
12.
又因为∠B?(0，π)，所以0＜B≤故选D. (4) 解: ∵A?∵B?C= ∴32．
?32，b?c=3a， 由正弦定理得sinB+sinC=3sinA=?， ∴ sinB+sin(32sinB=
32232.
2?33?B)=
32.
3cosB+. 即sin(B?2?62)=
2. 故选C.
2cos3?4(5) 解：由余弦定理得(17)?BCBC2?(2)?2?BC?，整理得：
?2BC?15?0,解得BC?3. 选（C）
(6) 解：
p//q?(a?c)(c?a)?b(b?a)?a?b?c?ab222 8
?cosC?a?b?c2ab222?ab2ab?12.选（B）
(7)解： ?a,b,c成等比数列，?ba?c?b2ab22222?ac又?c?2a,?b?222a,
?cosB?选（B）
?a?(2a)?(2a)2a?(2a)?34.
(8) 解：由余弦定理得cosA?9?16?132?3?43212sin60??12,sinA?32.
AC边上的高=AB?sinA?3??332. 选（B）
二、填空题
(9)解：由正弦定理得
ACsin45???AC?46.
（10）解：（1）∵b2?a2?c2?2accosB
=(23)2?(6?2)2?2?23?(6?2)cos450 =12?(6?2)2?43(3?1) =8 ∴b?22.
求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
b?c?a(22)?(6?2)?(23)10??, ∴A?60. ∵cosA?2bc22?22?(6?2)222222(11)解：?A,B,C成等差数列，?2B?A?C.?A?B?C??,?B?
在?ABD中，AD?三、解答题
（12） 解：（
AB2?3.
AB2?BD2?2AB?BDcosB?1?4?2?1?2?12?3.
Ⅰ
?BC2）由余弦定理得
34?2.?AC2?2AC?BCcosC?4?1?2?2?1?
?AB?2.
9
（Ⅱ）由cosC?34且0?C??，得sinC?1?cosC?274,
由正弦定理得：sinA?BCsinCAB?148516.?cosA?528.
916由倍角公式sin2A?2sinA?cosA?7,且cos2A?1?2sin2A?.
?sin(2A?C)?sin2AcosC?cos2AsinC?3378. 45（13）解： 由题意，得cosB?，B为锐角，sinB?5，
sinA?sin(π?B?C)?sin?107?3π?72， ?B??410??12ac?sinB?12?2?107?45?87 由正弦定理得 c?， ? S?．
（14）解：如图，连结A1B1，由已知A2B2?102，
A1A2?302?2060?102，
北 120 B2 ??A2
?A1A2?A2B1，
105 A
1B1 ???又∠A1A2B2?180?120?60，
?△A1A2B2是等边三角形，
乙 甲
?A1B2?A1A2?102，
北 由已知，A1B1?20，
∠B1A1B2?105?60?45，
???120 B2 ?A2
105 ?A1
在△A1B2B1中，由余弦定理，
B1B2?A1B1?A1B2?2A1B2?A1B2?cos45
222?B1 乙 甲
?20?(102)?2?20?102??200．
2222
?B1B2?102．
10