高等数学试用于华东理工大学的学生
八 .证明曲面 z =
xy x2 + y2
上任一点 M 0 = ( x0 , y0 , z0 ) ( x0
+ y0 ≠ 0) 处2 2
x y z = = . 的法线都垂直于直线 x 0 y0 z 0
证明： 证明：
zx =
y2
3 23 2
(x + y )r n={
zy =y3 03 2
x3 (x + y )2 23 y0 2 0 2 03 2
3 2
所以法向量为
2 2 ( x 0 + y0 )
,
(x + y )
, 1}
r 直线的方向向量 l = { x 0 , y 0 , z 0 }
z0 = x 0 y02 2 x0 + y0
x 0 y02 2 x 0 + y0
r r 于是n l ==
3 x0 y0
(x + y )2 0 2 0
3 2
+
3 x 0 y0
(x + y )2 0 2 0
3 2
x0 y0 x +y2 0 2 0
x 0 y02 2 x0 + y0
=0
r r ∴ n⊥l