高中一年级->高一数学
例2 求函数f(x)=cos3x的周期。
解：设周期为T. f(x)=cos3x=cos(3x+2π)，f(x+T)=cos3(x+T) 由f(x)= f(x+T)得，3x+2π=3(x+T)，解得T=2π/3. ∴函数f(x)=cos3x的周期2π/3.
注意：①运用了换元方法，u=3x；②f(u)=cosu的(最小正)周期是2π；即cosu=cos(u+2π)；③由于cos(3x+2π) =cos3(x+T)对任一x的值都成立，所以3x+2π=3(x+T)；④f(x)= cos3x的周期与f(u)=cosu的周期是两个不同的概念。 例3．求下列函数的最小正周期T. （1）f(x) 3sinx （2）f(x) sin2x （3）f(x) 2sin(
1 x ) 24
解：（1）f(x) 3sinx 3sin(x 2 ) f(x 2 )T 2
（2）f(x) sin2x sin(2x 2 ) sin2(x ) f(x )
∴ 函数的最小正周期为π.
（3）f(x) 2sin(1x ) 2sin(1x 2 ) 2sin[1(x 4 ) ] f(x 4 ) 242424 ∴ 函数的最小正周期为4π.
总结一般规律：y Asin( x ),y Acos( x )的最小正周期是
2 | |
.
令 z x ，由y Asinz,z R的周期是2 ， 则 z 2 x 2 x 因而自变量x只要并且至少要增加到x
2
2
2
，即T
。
例4．求证：（1）y cos2x sin2x的周期为π； （2）y |sinx| |cosx|的周期为
2
.
证明：（1）f(x ) cos2(x ) sin2(x ) cos(2 2x) sin(2 2x) cos2x sin2x f(x)
y cos2x sin2x的周期是
（2）f(x ) |sin(x )| |cos(x ) |cosx| | sinx| |sinx| |cosx| f(x)
2
2
2
∴y |sinx| |cosx|的周期是总结：（1）一般函数周期的定义
2
.