东城区2010-2011学年度高三第一学期期末教学统一检测理科数学
当x (0,)时，f (x) 0,f(x)单调递减；
e
1
当x (, )时，f (x) 0,f(x)单调递增．
e
1
所以函数f(x)在[1,3]上单调递增． 又f(1) ln1 0，
所以函数f(x)在[1,3]上的最小值为0． 6分
（Ⅱ）由题意知，2xlnx x2 ax 3,则a 2lnx x
1e
3x
．
若存在x [,e]使不等式2f(x) x2 ax 3成立，
3x
只需a小于或等于2lnx x
3x
的最大值．
2x
3x
2
设h x 2lnx x
1e
x 0 ，则h x
1
x 3 x 1
x
2
．
当x [,1)时，h x 0,h x 单调递减； 当x (1,e]时，h x 0,h x 单调递增． 由h() 2
e1e1
1e
3e，h(e) 2 e
3e
，h() h(e) 2e
e
12e
4 0，
可得h() h(e)．
1e
1e
1e
所以，当x [,e]时，h(x)的最大值为h() 2
1e
3e．
故a 2
（19）（共13分）
3e． 13分
（Ⅰ）解：由题意：2a 4，所以a 2． 所求椭圆方程为
2
x
2
4
yb
22
1．
又点在椭圆上，可得b 1．
2
所求椭圆方程为
x
2
4
y 1． 4分
2
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：A( 2,0),B(2,0)．