学而思 小升初专项训练__数论篇(1) 教师版
从而70分以下的有：42× 1
17
12
1
＝1人。 3
3．（★★）自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有_______个。
解：枚举法：23，37，53，73，，有4个
4. （★★★）三个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除，那么这样的三个自然数的和的最小值是多少？ 解：这三个自然数最小是6，10，15（分别是2×3,2×5,3×5） 和的最小值为31。
5、（★★★）五个连续偶数之和是完全平方数，中间三个偶数之和是立方数（即一个整数的三次方），这样一组数中的最大数的最小值是多少？ 解：设中间一个数为2x 那么5个数的和为10x=m^2 中间3个数的和为6x=n^3
设x=2^p × 3^q × 5^r
再根据一个数是完全平方数等价于它的各个质因子的幂都是偶数，一个数是立方数等价于他的各个质因子的幂都是3的倍数可以求得p=5,q=2,r=3 X=36000
因此所求为2x+4=72004
6、（★★）一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个是多少？
解：A2-B2=（A+B）（A-B）=37=37×1，考虑同奇偶性，可知A=19，B=18，这样这个数为461。
7、（★★★）从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______． 【来源】北京市第七届“迎春杯”决赛第二题第4题
【解】第一次报数后留下的同学，他们最初编号都是11的倍数；第二次报数后留下的同学，他们最初编号都是112=121的倍数；第三次报数后留下的同学，他们最初编号都是113=1331的倍数．因此，第三次报数后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是1331．
8、（★★★）有1997个奇数，它们的和等于它们的乘积．其中只有三个数不是l，而是三个不同的质数．那么，这样的三个质数可以是 、 、 ． 【解】设a、b、c为三个不同的质数，根据题意
1994+a+b+C=a·b·c．
取a=3，b=5，得1994+3+5+c=15c，解出c=143不是质数； 取a=3，b=7，得1994+3+7+c=21c，解出c=501不是整数； 5