答案精准,解析详尽。
∴ 数列{an}是公比 q= ,
则数列{an}的前 n 项和 Tn=
=2﹣2
1﹣n
.
(3)bn= ∴ b1=a1,b2=
+(1+ + +…+ )an, +(1+ )a2,b3= (1+ + )a3,
∴ Sn=b1+b2+…+bn=(1+ + +…+ ) (a1+a2+…+an)=(1+ + +…+ )Tn =(1+ + +…+ ) (2﹣21﹣n
)<2×(1+ + +…+ ) ,
设 f(x)=lnx+ ﹣1,x>1,
则 f′ (x)= ﹣
.
即 f(x)在(1,+∞)上为增函数， ∵ f(1)=0,即 f(x)>0, ∵ k≥2,且 k∈N 时， ∴ f( )=ln +
, ﹣1>0,即 ln > ,
∴ 即
ln ,
,…
, =lnn,
∴ 2×(1+ + +…+ )<2+lnn, 即 Sn<2(1+lnn)=2+2lnn. 点评： 本题主要考查数列通项公式以及前 n 项和的计算，以及数列和不等式的综合，利用作 差法求出数列的通项公式是解决本题的关键.考查学生的计算能力，综合性较强，难 度较大.