因为21202()21n n xS x x
n ∞+-=+∑ 所以22220
01[()]222(1)1n n n n xS x x
x x x ∞∞--'===?<-∑∑ 所以220001111[()]2()ln (1)1111x x
x x tS t dt dt dt x t t t x +'=?
=+=<-+--??? 即201()ln 1x x xS x x +=-，故21()ln 1x xS x x
+=- 当0x ≠时，211()ln 1x S x x x +=
- 当0x =时，12(0)1,(0)2S S == 所以，22212111ln (1,0)(0,1)()()()(1)130x x x S x S x S x x x x
x ?+++∈-??=+=--??=?
(18)解：
曲线L 在任一处(,)x y 的切线斜率为sin ()dy t dx f t -='，过该点(,)x y 处的切线为sin cos (())()
t Y t X f t f t --=-'。令0Y =得()cot ()X f t t f t '=+。由于曲线L 与x 轴和y 轴的交点到切点的距离恒为1.
故有22[()cot ()()]cos 1f t t f t f t t '+-+=，又因为'()0(0)2f t t π><<
所以sin ()cot t f t t
'=，两边同时取不定积分可得()ln sec tan sin f t t t t C =+-+，又由于(0)0f =，所以C=0 故函数()ln sec tan sin f t t t t =+-
此曲线L 与x 轴和y 轴所围成的无边界的区域的面积为：
20cos ()4S tf t dt π
π'==?
(19)解：
补充曲线1L 沿y 轴由点(2,0)到点(0,0),D 为曲线L 和1L 围城的区域。由格林公式可得
原式=
1123233d (2)d 3d (2)d L L L x y x x x y y x y x x x y y +++--++-?? =11
22(313)(2)12D L D L x x d y dy d ydy σσ+---=+?????? 22222001121244222
ydy y ππππ=??-??-=-=-? (20)解：