5、（1）记Xi M ti M ti 1 即有： M ti M ti 1
i 1
n
2
n
2
2
M ti M ti 1 ti ti 1 ,i 1,2,
n
,n，
M b M a b a Xi；欲证
i 1
n 2
，只须证：Mt MtL b a Mb Ma EX ii 1 i
i 1 i 1
n
n
注意到，E Xi EXi2 2 E XiXj
i 11 i j n i 1
n
n
2 0
n
0。
2
2 2 ti ti 1
i 12
n
2
2
1 i j n
E X E X
i
j
2 ti ti 1 0 2
2
i 1
2
2
t t
i
i 1
i 1
2 b a n
2
n 0
，得证！
（2）（i）由全概率公式，P W t a
PW t aM t aP M t a PW t aM t aP M t a
2
；易
见，P W t aM t a 0，P W t aM t a 1（由对称性）；从而，P M t a 2P W t a 。（ii） x 0，
P x P M x a 2P W x a 2 1 ；令 ～f x ，
即有：
3
2
3
d 1 2 /f x P
x 2 2 a x dx 2
2
/
t2 ax。 ，这里，
t
6、（1）令f x lnx，f/ x 1，f// x
x1
x2
，由Ito-Doeblin公
式，
d lnS t
21111212
dS t dSt dt dWt dt dt dW t St2S2t 22
t12
；两边同时积分，即有： 0d lnS u 0 2 du 0 dW u
12
，即：lnS t lnS 0 t W t ，也即：
2
t
t
S t S 0 e
12
dt dW t 2
。