全国2007年7月自考复变函数与积分变换答案
28.将函数f(z)=
2z z 2
在圆环域0<|z|<2内展开为罗朗级数.
0 |z| 2
2
z2
11
1
1
n
z f(z) ( 1)
zz z 2 zzn 0 2 1 2
n
n 0
(
12
)z
nn 1
四、综合题(下列3个小题中，第29小题必做，第30、31小题中只选做一题。每小题10分，共20分) 29．（1）求f(z)=
z1 z
2
e在上半平面的所有孤立奇点；z=i(一级极点)
iz
e
（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；
1
2
2
（3）利用以上结果计算积分I=
xsinx1 x
dx.
【注：实函的积分结果一定是实数，不会是虚数】
xe
x2
1 x
dx 2 i
e
1
2
ei
1
xsinx1 x
2
dx e
1
30.设D是Z平面上的带形区域：1<Rez<1+π，求下列保角映射： （1）ω1=f1(z)把D映射成ω1平面上的带形区域D1：0<Reω1<π；w1
z 1
（2）ω2=f2(ω1)把D1映射成ω2平面上的带形区域D2：0<Imω2<π；w2（3）ω=f3(ω2)把D2映射成ω平面上的上半平面D3：Imω>0；（4）综合以上三步，求把D映射成D3的保角映射ω=f(z). 31.(1)求e的拉氏变换L [e ];
t
t
ew1 iw1
w2
2
i
w e
w e
i(z 1)
(2)设F（p）=L [y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，L [y′(t)]、L [y″(t)]存在，且y(0)=0， y′(0)=0，求L [y′(t)]、L [y″(t)];
y 2y y et
(3)利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：
y(0) 0,y(0) 0.