②sin
A2
cos
B C2
,cos
A2
sin
2
B C2
,tan
A2
cot
B C2
. ③a b A B sinA sinB
④锐角 ABC中,A B
,sinA cosB,cosA cosB,a2 b2 c2,类比得钝角 ABC结论.
⑤tanA tanB tanC tanAtanBtanC.
11.角的范围：异面直线所成角(0,]；直线与平面所成角[0,]；二面角和两向量的夹角[0, ]；直线
2
2
的倾斜角[0, )；l1到l2的角[0, )；l1与l2的夹角(0,].注意术语:坡度、仰角、俯角、方位角等.
2
五.平面向量
1.设a (x1,y1),b (x2,y2). (1)a//b x1y2 x2y1 0；(2)a b a b 0 x1x2 y1y2 0.
2.平面向量基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向
量a,有且只有一对实数 1、 2,使a 1e1 2e2.
3.设a (x1,y1),b (x2,y2),则a b |a||b|cos x1x2 y1y2；其几何意义是a b等于a的长度
a b 与b在a的方向上的投影的乘积；a在b的方向上的投影|a|cos |b|
AB
4.三点A、B、C共线 AB与AC共线；与AB共线的单位向量 .
|AB|
a b
5.平面向量数量积性质：设a (x1,y1),b (x2,y2),
则cos ；注意:
|a||b| a,b 为锐角 a b 0,a,b不同向； a,b 为直角 a b 0； a,b 为钝角 a b 0,a,b不反向.
6.a b同向或有0 |a b| |a| |b| |a| |b| |a b|；a b反向或有0
|a b| |a| |b| |a| |b| |a b| |a| |b| |a b| |a| |b|. ；a b不共线
7.平面向量数量积的坐标表示：⑴若a (x1,y1),b (x2,y2),则a b x1x2 y1y2；
2 |AB| ⑵若a (x,y),则a a a x2 y2.
0；当点P在线段P8.熟记平移公式和定比分点公式. ①当点P在线段P1P2上时,1P2(或P2P1)
x1 x2x1 x2
x x 1 2
( 1)( 1). 则 , 中点坐标公式： y yy y2 y 1 y 12
1 2
③P1,P,P2三点共线 存在实数 、 使得OP OP OP12且 1.
|AB|
|AC|
|AB|
|AC|
1 1 0 延长线上时,或.②分点坐标公式：若PP PP2；且P1(x1,y1),P(x,y)P2(x2,y2)； 1
ABACABAC
9.三角形中向量性质：①AB AC过BC边的中点：( ) ( )；
②PG (PA PB PC) GA GB GC 0 G为 ABC的重心；
3
③PA PB PB PC PA PC P为 ABC的垂心； ④|BC|PA |CA|PB |AB|PC 0 P为
ABAC
ABC的内心； ( )( 0)所在直线过 ABC内心. ⑤设A(x1,y1),B(x2,y2),
|AB|
|AC|
1
S AOB
12
1
xAyB
xByA. S ABC |AB||AC|sinA
2