第三讲 复数域上的极限与连续
一．定义距离(两个复数之间的距离)
两个复数z1 x1 iy1,z2 x2 iyz的距离为
(z1,z2) z1 z2 .
有了两个复数之间的距离后,容易得出下面的结论
x1 x2,y1 y2} z1 z2 x1 x2 y1 y2(如图2.1).
二．复数序列的极限
复数列{zn} n 1,存在z0 ,使得
z0 limzn 对 0, N 0,当 n N时,有
n
zn z0 .
图2.1 引理 若zn xn iyn,n 1,2, ,z0 x0 iy0,则
limx x0 n n
limzn z0 . n limy y0
n n
三．复函数的极限
定义 设f:D 单值函数w f(z),z0 x0 iy0是D的一个聚点(非孤立点).若对于 0, 0,当0 z z0 时,有f(z) A ,则称f(z)当
z z0时以A为极限,记为
z z0
limf(z) A.
引理 设z x iy,z0 x0 iy0,w f(z) u(x,y) iv(x,y),A a ib,则有
limu(x,y) a (x,y) (x0,y0)
. limf(z) A
z z0limv(x,y) b (x,y) (x0,y0)
四．复函数的连续