复函项级数
u(z)绝对收敛 u(z)收敛.
k
k
k 1
k 1
x
xx2xn
补充内容:实数域上有e 1
1!2!n!
x3x2n 1n
sinx x ( 1)
3!(2n 1)!
2nx2nx cosx 1 ( 1) 2!(2n)!
下面把上面的情况推广到复数域上:
ix(ix)2(ix)n
(1)形式上的令e 1 (x )
1!2!n!
ix
由i2 1得eix cosx isinx. 下面是对Euler公式的严格定义和证明:
zz2zn
设z ,对n 1,2, ,令zn 1 得到序列{zn},不妨设
1!2!n!
m n,那么
zn 1zn 2zmzn 1zn 2zm
zm zn
(n 1)!(n 2)!m!(n 1)!(n 2)!m!
(1)
2
znzz
,{an}收敛于ez,因为{an}再对实数序列进行分析{an 1
1!2!n!
收敛,由柯西准则有
(n 1)!(n 2)!m!
由(1)可知{zn}也是柯西序列,所以{zn}收敛.记{zn}的极限为ez, 即 z 定义
zz2znzn
e 1
1!2!n!k 1n!z
zn 1zn 2zm
zn
级数 收敛且绝对收敛,收敛域为整个复数域 .
k 1n!