z3z2n 1n
(2)形式上的令sinz z ( 1)
3!(2n 1)!
z3z2n 1n
定义序列zn z ( 1),利用上面同样的方法,可得
3!(2n 1)!
2n 1
z3z
sinz z ( 1)n
3!(2n 1)!
2n
z2nz(3)同理,也有cosz 1 ( 1) 2!(2n)!
由(1)(2)(3)得证eiz cosz isinz(Euler公式).
练习:
1. 设z (1 i)3
(1)z表示为实部虚部的形式; (2)求z,argz( , ); (3)求z的Euler指数表示; (4)z的三角表达式;
解 (1) z (1 i)3 (1 i)2(1 i) 2i(1 i) 1 2i, Rez 2,Imz 2.
(2)z (1 i)3 i 3 argz arctan
3i 4
3
Imz3
arctan( 1) .
Rez4
(3)z .
(4)z isin ) 3434 ). 22
2. 求(1)e;(2)cosi;(3)sini;(4)Re
1 i
1 i. 1 i
解 (1) e1 i e ei e(cos1 i sin1) Re(e1 i) e cos1,Im(e1 i) e sin1.
ei i e i ie 1 e
(2)cosi .
22