第三讲 复数域上的极限与连续(2)

定义 设w f(z)定义在复数集D上,z0 x0 iy0 D是D的一个聚点,若

z z0

limf(z) f(z0),则称f(z)在点z0连续.

注:若点z0是D的一个孤立点,则f(z)在点z0连续.

引理 复函数w f(z) u iv在点z0 x0 iy0连续 函数u(x,y),v(x,y)在点(x0,y0)连续.

复函数w f(z)在点集D上的每一点连续,则f(z)是D上的连续函数.

五．复级数

定义 设复数列{u}

kk 1,复数项级数的前

n项之和sn uk(n 1,2, ),

k 1

n

然而得部分和序列{sn},级数和

u

k 1

k

limsn,即 uk A limsn A.

n

k 1

n

引理 复数列{uk} k 1,若uk ak ibk,A a0 ib0,有

ak a0

k 1

. u A k

k 1 b b

k0 k 1

绝对收敛:级数

u

k 1

k

收敛,则称

u

k 1 k 1

k

绝对收敛.

级数

u

k 1

k

绝对收敛当且仅当级数

a

k

和级数

b

k 1

k

收敛.

六．复函数列{uk(z)} k 1

设复函项级数

u(z),在点z

kk 1

D,使复数列 uk(z0)收敛,则称复函数

k 1

列在点z0收敛,z0称为复函数列的收敛点.收敛域={所有收敛点}.