例3 用数学归纳法证明等式:13 23 33
n3
1 2 2 n n 1 . 4
1 12 22 1; 4 1 2 3 3 (2)假设当n = k时等式成立,就是1 2 33 k 3 k 2 k 1 . 4 1 3 2 3 那么, 13 23 33 k 1 k 2 k 1 k 1 4 1 1 2 2 2 2 k 1 k 4k 4 k 1 k 2 . 4 4 这就是说, 当n k 1时等式也成立.根据 (1)和 (2)可知, 对于
证明
(1) 当n = 1时,左边=1,右边=
任何正整数n, 等式都成立.
注意13 +23 +33 +
1+2+3+
+n =
1 n n 1 , 所以, 原等式还可以写成 2 +n .2
n 3 1+2+3+