48
工业工程第14卷
决策其实是一个动态博弈的过程。由逆向归纳法可知，在博弈的第1阶段，零售商根据变质库存模型，制定最优的订货量和订货周期；在第2阶段，分销商依据零售商制定的最优订货量，确定最优批发价格；在第3阶段，生产商确定对分销商的最优批发价格。
第1阶段，零售商根据自己的库存和成本状况基于以上假设，制定出最优订货周期和最优订货量，
［23］
由Ghare和Schrader变质库存模型dI（t）=－θ（t）I（t）dt－D（t）dt，0≤t≤T，可得零售商t时刻的库存水平I（t）。
已知边界条件为I（T）=0，当产品的生命周期1
远远大于订货周期T时，即θ（t）T→0，本文采θ（t）
18］用与文献［相同的处理方式，由泰勒展式
x2
e≈1+x+，
2
x
（1－）（1－a）θ（1－aθ）
3－w2T2+
2（θ+1）θ+11－aθ（pa－w）T。
θ+12
零售商的单位时间利润为π3Γ3－H3－L3－f3
==TT（
2111－aθθ（1－aθ）2h+b3）T－bp+h+3322（θ+1）θ+1（1－）（1－a）θ（1－aθ）
3－w2T+
2（θ+1）θ+1
1－aθ
w）。θ+12
（1）
（pa－
由于零售商追求单位时间最大利润，因此，式（1）对T分别求一阶和二阶导数有π3T21（1－a）
=2（h+b3）T－dT33θ+11（1－a）（1－）1－abp+h+b3－22（θ+1）2（θ+1）
dw2
θ（1－aθ）
=0，θ+1
d2π321（1－a）
=2（h+）＜0。3
33θ+1dT2T
由此求得零售商的最优订货周期为
T*=A－Bw2。
其中，
1－aθ1（1－aθ）（1－θ）+h+b3
2（θ+1）2（θ+1）2
A=，
2θ（1－aθ）（2h+b3）3θ+1B=
3
。
2（2h+b3）
近似得
1－aθθ（1－aθ）2
（t－T2）+（T－t）。
θ+1θ+1
当t=0时，零售商的初始库存即最优订货量为
1－aθθ（1－aθ）2
Q=I（0）=－T。
θ+1θ+1
1a?，由于a为t=0时刻的需求量，因此，即有
θ
1－aθ＜0。I（t）=
下面分析零售商所要承担的成本。零售商的库存持有成本为H3=hI（t）dt=
()
∫
T
h［－
2θ（1－aθ）31－aθ2
T+T］；
3（1+θ）2（1+θ）零售商的变质处理成本为L3=b3
∫
T
（1－θt）I（t）dt=
b3［－
θ（1－aθ）3（1－）（1－a）2
T+］；
3（1+θ）2（1+θ）
在博弈的第2阶段，分销商根据零售商的订货
量以及自己的成本状况，在单位时间利润最大化的基础上确定对零售商的最优批发价格w2。
分销商的利润函数为
π2=Γ2－（H2+f2）=（w2－w1－c2）Q；分销商的单位时间利润函数为π2Q=（w2－w1－c2）TT
（2）
零售商的购买成本为
1－aθθ（1－aθ）2
f3=w2Q=w2（T－T）；
2（θ+1）θ+1零售商的总收益为
Γ3=pD（t）dt=p（a－bt）dt=
∫
T
∫
T
p（aT－
12
bT），2
*
将T=A－Bw2代入式（2），并根据单位时间利润最大化目标，分销商的利润函数对w2求导，令
因此，零售商的利润函数为
π3=Γ3－H3－L3－f3=（
21111－a（1－a）3h+b3）T－bp+h+3322θ+1θ+1
d
π2
T
=－［（A－Bw2）－B（w2－w1－c2）］×dw2
（1－a）1－a+=0，θ+1θ+1