解法2：（I）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得
A(0,0,0),BC(0,4,0),A1(0,0,4),EF(0,4,1),
于是则故
CA1 (0, 4,4),EF (
CA1 EF (0, 4,4) ( 0 4 4 0,
EF AC1.
（II）设CF ,(0 4)，
平面AEF的一个法向量为m (x,y,z)， 则由（I）得F（0，4， ）
AE AF (0,4, )，于是由m AE,m AF可得
3y 0, m AE 0,即
m AF 0, 4y z 0.
取m ,
,4).
又由直三棱柱的性质可取侧面AC1的一个法向量为n (1,0,0)，
|m n|
cos
|m| |n|， 于是由 为锐角可得
tan
所以
1
由0 4，得
1
tan 34，即
,
故当 4，即点F与点C1重合时，tan
取得最小值3
31.（湖南理19）
如图5，在圆锥PO中，已知PO
O的直径AB 2,C是AB的中点，D为AC的
中点．
（Ⅰ）证明：平面POD 平面PAC; （Ⅱ）求二面角B PA C的余弦值。
解法1：连结OC，因为OA OC,D是AC的中点,所以AC OD. 又PO 底面⊙O，AC 底面⊙O，所以AC PO，
因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC 平面POD， 而AC 平面PAC，所以平面POD 平面PAC。
（II）在平面POD中，过O作OH PD于H，由（I）知，平面POD 平面PAC, 所以OH 平面PAC，又PA 面PAC，所以PA OH. 在平面PAO中，过O作OG PA于G， 连接HG， 则有PA 平面OGH，
从而PA HG，故 OGH为二面角B—PA—C的平面角。
Rt ODA中,OD OA sin45
在
Rt POD中
,OH
在
Rt POA中,OG
在
OHRt OHG中,sin OGH OG5在
cos OGH 所以
5
5故二面角B—PA—C
的余弦值为
解法2：（I）如图所示，以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴，z轴建
立空间直角坐标系，则
11D( ,,0)
O(0,0,0),A( 1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P，22
设
n1 (x1,y1,z1)
是平面POD的一个法向量，
则由所以设
n1 OD 0,n1 OP 0
，得
1 1
x y1 0, 122 0.1
z1 0,x1 y1,取y1 1,得n1 (1,1,0).
n2 (x2,y2,z2)
是平面PAC的一个法向量，
，
则由
n2 PA 0,n2 PC 0
x22 0,
y2 2 0.
得
所以得
x2 2,y2 2.取z2 1,
。
n2 (因为所以
n1 n2 (1,1,0) ( 0,
n1 n2.
从而平面POD 平面PAC。
（II）因为y轴 平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为
n3
(0,1,0).