（Ⅰ）若x1
1
3
，求x2； （Ⅱ）分别过A,B作x轴的垂线，垂足依次为C,D．记△AOC 的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1 2S2，求角 的值．
16．（本小题满分13分）
某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：
奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励． （Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；
（Ⅱ）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望． 17．（本小题满分14分）
如图1，四棱锥P ABCD中，PD 底面ABCD，面ABCD是直角梯形，
M为侧棱PD上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．
（Ⅰ）证明：BC 平面PBD； （Ⅱ）证明：AM∥平面PBC； （Ⅲ）线段CD上是否存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为4
？若存在，找到所有符合要求的点N，并求CN的长；若不存在，说明理由．
18．（本小题满分13分）
如图，椭圆C:x2
y2
m
1(0 m 1)的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．
（Ⅰ）若点P
的坐标为(95,5
，求m的值； （Ⅱ）若椭圆C上存在点M，使得OP OM，求m的取值范围．
19．（本小题满分14分） 已知函数f(x)
23
x3
2x2 (2 a)x 1，其中a R． （Ⅰ）若a 2，求曲线y f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求f(x)在区间[2,3]上的最大值和最小值． 20．（本小题满分13分）
已知集合Sn {(x1,x2, ,xn)|x1,x2, ,xn是正整数1,2,3, ,n的一个排列}(n 2)，函数
g(x)
1,x 0,
1,x 0.
对于(a1,a2,…an) Sn，定义：bi g(ai a1) g(ai a2) g(ai ai 1),i {2,3, ,n}，b1 0，称bi为ai的满意指数．排列b1,b2, ,bn为排列a1,a2, ,an的生成列；排列a1,a2, ,an为排列b1,b2, ,bn的母列．
（Ⅰ）当n 6时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0, 1,2, 3,4,3的母列；
（Ⅱ）证明：若a1,a2, ,an和a1
,a2 , ,an 为Sn中两个不同排列，则它们的生成列也不同； （Ⅲ）对于Sn中的排列a1,a2, ,an，定义变换 ：将排列a1,a2, ,an从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换 将
排列a1,a2, ,an变换为各项满意指数均为非负数的排列．
北京市西城区2013年高三二模试卷
高三数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．C； 2．B； 3．A； 4．C； 5．D； 6．C； 7．B； 8．B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9． ； 10．80； 11．3
，
2
； 12．125； 13．2n 1，n44(n 1)； 14．(1,3]．
注：11、13题第一空2分，第二空3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）