【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质． 【专题】证明题．
【分析】连接AD，利用SSS得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形对应角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD为角平分线，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线定理即可得证．
【解答】证明：连接AD， 在△ACD和△ABD中，
，
∴△ACD≌△ABD（SSS），
∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF， ∵DE⊥AE，DF⊥AF， ∴DE=DF．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
18．若﹣=2，求
【考点】分式的化简求值．
的值．
【分析】先根据题意得出x﹣y=﹣2xy，再分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x﹣y=﹣2xy代入进行计算即可．
【解答】解：∵﹣=2， ∴x﹣y=﹣2xy，
∴原式=
=
==．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
19．如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由．
【考点】等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质． 【专题】探究型．
【分析】要判断△AFC的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看∠FAC和∠FCA的关系．因为∠BAD=∠BCE，因此我们只比较∠BAC和∠BCA的关系即可．根据题中的条件：BD=BE，∠BAD=∠BCE，△BDA和△BEC又有一个公共角，因此两三角形全等，那么AB=AC，于是∠BAC=∠BCA，由此便可推导出∠FAC=∠FCA，那么三角形AFC应该是个等腰三角形．
【解答】解：△AFC是等腰三角形．理由如下： 在△BAD与△BCE中，
∵∠B=∠B（公共角），∠BAD=∠BCE，BD=BE， ∴△BAD≌△BCE（AAS），
∴BA=BC，∠BAD=∠BCE， ∴∠BAC=∠BCA，
∴∠BAC﹣∠BAD=∠BCA﹣∠BCE，即∠FAC=∠FCA． ∴AF=CF，
∴△AFC是等腰三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判定等知识点，利用全等三角形来得出角相等是本题解题的关键．
四、综合解答题（本题5小题，满分44分，要写出必要的计算、推理、解答过程） 20．如图，已知线段a及∠O，只用直尺和圆规，求作△ABC，使BC=a，∠B=∠O，∠C=2∠B（在指定作图区域作图，保留作图痕迹，不写作法）
【考点】作图—复杂作图． 【专题】压轴题．
【分析】先作一个角等于已知角，即∠MBN=∠O，在边BN上截取BC=a，以射线CB为一边，C为顶点，作∠PCB=2∠O，CP交BM于点A，△ABC即为所求． 【解答】解：如图所示：
．
【点评】本题主要考查了基本作图，关键是掌握作一个角等于已知角的基本作图方法．
21．两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
【考点】作图—应用与设计作图．
【分析】仔细分析题意，寻求问题的解决方案．
到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C． 由于两条公路所夹角的角平分线有两条，因此点C有2个． 【解答】解：（1）作出线段AB的垂直平分线； （2）作出角的平分线；
它们的交点即为所求作的点C（2个）．
【点评】本题借助实际场景，考查了几何基本作图的能力，考查了线段垂直平分线和角平分线的性质及应用．题中符合条件的点C有2个，注意避免漏解．
22．如图，△ABD、△AEC都是等边三角形．AB、CD相交于M，AC、BE相交于N，∠MAN=60°．求证： （1）BE=DC； （2）AM=AN．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【专题】证明题．
【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，证出∠BAE=∠DAC，根据SAS证明△ABE≌△ADC，得出对应边相等即可； （2）证△ADM≌△ABN即可；
【解答】证明：（1）∵△ABD、△AEC都是等边三角形， ∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°， ∴∠BAE=∠DAC，
在△ABE和△ADC中，∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴BE=DC；
（2）∵△ABE≌△ADC， ∴∠ADM=∠ABN， 在△ADM与△ABN中，
，
，
∴△ADM≌△ABN（AAS）， ∴AM=AN．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质定理、等边三角形的性质，关键是找出或证明能使三角形全等的条件．对于全等三角形的判定定理SAS，ASA，AAS，SSS，HL必须熟练掌握．
23．如图，△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D．