①若△BCD的周长为8，求BC的长； ②若BD平分∠ABC，求∠BDC的度数．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【分析】①根据线段的垂直平分线的性质求出AD=BD，求出BD+DC+BC=BC+AC=8，即可得出答案；
②设∠A=a°，根据等腰三角形的性质求出∠A=∠ABD=a°，∠ABC=∠ACB=2a°，根据三角形内角和定理得出方程5a=180，求出后根据三角形的外角性质求出即可． 【解答】解：①∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AD=BD，
∵△BCD的周长为8，
∴BD+DC+BC=BC+AD+DC=BC+AC=8， ∵AB=AC=5， ∴BC=3；
②设∠A=a°， ∵AD=BD， ∴∠A=∠ABD=a°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD=a°， ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=2a°， ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴5a=180， ∴a=36，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，含30度角的直角三角形，三角形的外角性质，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是推出AB=AE=EC，AE=2DE，综合性比较强，难度适中．
24．如图，已知：在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD．图中的CE、BD有怎样的大小和位置关系？试证明你的结论．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据全等三角形的判定得出△BAD≌△CAE，进而得出∠ABD=∠ACE，求出∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB即可得出答案． 【解答】解：BD=CE，BD⊥CE； 理由：∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， 即∠BAD=∠CAE， 在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD=CE； ∵△BAD≌△CAE， ∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°， ∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
则BD⊥CE．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理等知识，根据已知得出△BAD≌△CAE是解题关键．