第七章
1．设X~N(?,?2),(X1,X2,?X10)为简单随机样本，S为样本方差。 （1）若??4，求P(S?2.9)； （2）若??4,?2?4,求P(X?6.5)； （3）若??4,S?2.5,求P(X?6.5)。
22 解：（1）
(n?1)S2?2??2(n?1)，
(n?1)S22.92?9??18.9225)
4
P(S?2.9)?P(?222? 查表得0.02586(9)?18.9225.故P(S?2.9)?0.0259.
（2）X?N(?,?2n)
P(X?6.5)?1??(6.5?4)?0 210 （3）X???t(n?1)
S/n
P(X?6.5)?P(查表得t0.02586(9)X??6.5?4??3.162)
S/n2.5/10?3.162.故P(X?6.5)?0.0058.
2．设冷抽铜丝的折断力服从正态分布X~N(?,?2)，从一批铜丝任取10根，测得折断力如下：578、572、570、568、572、570、570、596、584、572，求方差?的0.90的置信区间。
2(n?1)S2(n?1)S2(2,2). 2
解：?未知，求?置信水平为1??的置信区间为
??/2(n?1)?1??/2(n?1)
n?10S,2?75.?73?,222?0.1,?(9)?16.1?9,0.050.995 (9)3.32 代入得?的置信区间为
(40.284,204. 93．设自总体X~N(?,25)得到容量为10的样本，算的样本均值X?19.8，自总体
Y~N(?,36)得到容量为10的样本，算的样本均值Y?24.0，两样本的总体相互独立，求
?1??2的90%的置信区间。
2解：?12,?2均已知，求?1??2置信水平为1??的置信区间为
(X?Y?Z?2?12n1?2?2n2,X?Y?Z?2?12n1?2?2n2)
2n1?n2?10，X?19.8，Y?24.0，??0.1,Z0.05?1.645. ?12?25,?2?36，
代入得?1??2的置信区间为(?8.2628,?0.1372).
4．设(X1,X2,?X5)是取自正态总体N(0,?)的一个样本，试证：
23（1）当k?2时，kX1?X2X?X?X232425~t(3)；
2(X?X)123~F(1,3)。 （2）当k?时，k222X3?X4?X522X32?X4?X52X1?X22?N(0,1),??(3), 证：由题设知2?2?2?X32X1?X2X12?X2与相互独立 且2?2?2X12?X2?X32 （1）则X1?X22??23?t(3).
3 即当k?22X12?X2 （2）则2?2k时，
X1?X22X32?X4?X52~t(3)。
2X32?X4?X52?F(1,3). 23?2(X?X)123~F(1,3)。 即当k?时，k222X3?X4?X525.总体N(?,?2)，在该总体中抽取一个容量为n?16的样本(X1,X2,?X16)。
?11n22???(Xi??)?2?}； （2）P{求：（1）P{2n2ni?1?2222(X?X)?2?}。 ?ii?1n?(X解：（1）
i?116i??)??2(16)，
?216P(? 故原式=
2?(Xi?116i??)22??2?16)?0.99?0.0511?0.9389.
(n?1)S2 （2）
?2??2(n?1)
16(16?1)S2??2?16)?0.9935?0.0762?0.9173. 故原式=P(22? 6．某车间两条生产线生产同一种产品，产品的质量指标可以认为服从正态分布，现分别从
两条生产线的产品中抽取容量为25和21的样本检测，算的修正方差分别是7.89和5.07，求产品质量指标方差比的95%的置信区间。
?12解：?1,?2未知，求2置信水平为1??的置信区间为
?2S12S1211(2,2) S2F?/2(n1?1,n2?1)S2F1??/2(n1?1,n2?1) 这里n1?25,n2?21，S122,0.02(524,2?0)?7.89,S2?5.07，??0.05F2. 41,11F0.975(24,20)??.
F0.025(20,24)2.33?12 代入得2?2
的置信区间为
(0.6457,3.6260).
第八章
1．已知某炼铁厂铁水含碳量在正常情况下，服从正态分布N(4.52,0.1082)，现在测定了5炉铁水，其含碳量分别为
4.29 4.33 4.77 4.35 4.36
若标准差不变，给定显著性水平??0.05，问 （1）现在所炼铁水总体均值?有无显著性变化？
（2）若有显著性变化，可否认为现在生产的铁水平总体均值??4.52？ 解：（1）H0:??4.52&H1:??4.52. （用U检验法） 在H0为真的情况下，检验统计量U?X??0?/n?N(0,1),拒绝域为：U?U?/2(n?1).
U0?4.38?4.525?2.899?1.96.
0.108 故拒绝原假设，即认为所炼铁水的含碳量比正常情况下有显著性变化。 （2）H0:??4.52&H1:??4.52. （用U检验法） 在H0为真的情况下，检验统计量U?X??0?/n?N(0,1),拒绝域为：U?U?(n?1).
U0?4.38?4.525??2.899??1.65.
0.1082．某设备改装前后的生产效率（件/小时）记录如下：
改装前 20 21 24 24 21 22 21 19 17
改装后 25 21 25 26 24 30 28 18 20 23
设改装前后的生产效率均服从正态分布，且标准差不变，问改装前后生产效率有无显著差异？（??0.05） 解：：H0:?12w??2&H1:?1??2.
2(n1?1)S12?(n2?1)S2S??9.394.
n1?n2?2
t?X?Y?t0.02(1)57?11Sw?452.`0 98. 样本观测值t?2.128?2.1098.
所以在显著水平??0.05下，拒绝原假设，即认为改装前后生产效率有显著差异。、
3．某厂生产的铜丝，要求其折断力的方差不超过16N。今从某日生产的铜丝随机抽取容量为9的样本，测得其折断力如下（单位：N）：289 286 285 286 284 285 286 298 292 设总体服从正态分布，问该日生产的铜丝的折断力的方差是否符合标准（??0.05） 解：H0:?2?16&H1:?2?16 （用?2检验法）
在H0为真的情况下，检验统计量??拒绝域为：?222(n?1)S22?0??2(n?1),
2??2?(n?1).
8?S2162.8889????10.181??20.05(8)?15.507.
1616 故拒绝原假设，即认为所炼铁水的含碳量总体均值?比正常情况下显著变小。 4．设某种灯泡的寿命服从正态分布，按规定其寿命不得低于1500小时，今从某日生产的一
批灯泡中随机抽取9只灯泡进行测试，得到样本平均寿命为1312小时，样本标准差为380小时，在显著水平??0.05下，能否认为这批灯泡的平均寿命显著地降低? 解：H0:??1500&H1:??1500 （用T检验法） 在H0为真的情况下，检验统计量T?X??0S/n?t(n?1),拒绝域为：T??t?(n?1).
T?1312?1500??1.4842??t0.05(8)??1.8595.
380/9故不能拒绝原假设，即不能认为这批灯泡的平均寿命显著地降低。
5．欲知某种新血清是否能抑制白血球过多症，选择已患该病的老鼠9只，并将其中5只施予此种血清，另外4只则不然，从实验开始，其存活年限如下： 接受血清 2.1 5.3 1.4 4.6 0.9 在??0.05的显著性水平下,且假定两总体均方差相同
的正态分布,试检验此种血清是否有效?
未接受血清 1.9 0.5 2.8 3.1 解：H0:?1??2?0&H1:?1??2?0.
2(n1?1)S12?(n2?1)S24.0875?15.532S???2.8028.
n1?n2?272w
X?Yt???t0.0(57)??1.89 46.
11Sw?45 样本观测值
t??0.4174??1.8946.
??0.05下，不能拒绝原假设，即认为此种血清有效。
所以在显著水平