6．甲、乙、丙3人同时向一敌机射击，设击中敌机的概率分别为0.4，0.5，0.7。如果只有一人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.2；如果2人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.6；如果3人都击飞机，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率。0.458
解：设A =“甲击中敌机” B =“乙击中敌机” C =“丙击中敌机” Dk =“k人击中飞机”（k =1，2，3） H =“敌机被击中”
P(D1)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)
?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36
P(D2)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)
?0.4?0.5?0.3?.0?4.0?5.0?7.0?6.0?5.?0 7.P(D3)?P(ABC)?0.4?0.5?0.7?0.14
P(H)?P(1D)P(H|1D?)P(D)2D)P(H2|?3P(D)P( H3|D)
?0.36?0.2?0.41?0.6?0.14?1?0.458
C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为?，而输出为其他一字母7．将A、B、的概率为
1??。今将字母串AAAA,BBBB,CCCC之一输入信道，输入2AAAA,BBBB,CCCC的概率分别为p1,p2,p3(p1?p2?p3?1)，已知输出为ABCA，问
输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输各个字母的工作是相互独立的）
解：以A1,B1,C1分别表示事件“输入AAAA”、“输入BBBB”、“输入CCCC”，以D表示事件“输出ABCA”。因A1,B1,C1事件两两互不相容，且有
P(A1?B1?C1)?P(A1)?P(B1)?P(C1)?p1?p2?p3?1，
因此全概率公式和贝叶斯公式可以使用。由贝叶斯公式有
P(A1|D)?P(A1D)P(D|A1)p1?.
P(D)P(D|A1)p1?P(D|B1)p2?P(D|C1)p31??21??3).同理P(D|B1)?P(D|C1)??().代入22ABCA（即事件D）时，有两个字母为原字母，另两字在输入为AAAA（即事件A1）输出
母为其他字母，所以P(D|A1)??(上式并注意到
22?p1. p1?p2?p3?1得到P(A1|D)?(3??1)p1?1??8．一条自动生产线连续生产n件产品不出故障的概率为
?nn!e??(n?0,1,2,?)，假设产品
的优质率为p(0?p?1)。如果各件产品是否为优质品相互独立。求：
（1）计算生产线在两次故障间共生产k件（k = 0，1，2，?）优质品的概率；
（2）若已知在某两次故障间该生产线生产了k件优质品，求它共生产m件产品的概率。 解：设An =“连续生产n件产品不出故障” B =“两次故障间生产k件优质品”
（1）kkP(B)??P(B|An)P(An)??Cnp(1?p)n?k?n?kn?k?????ne??n!
（
k?0,1,2,?）.
??m??kkm?keCp(1?p)m?m!,m?kP(AmB)?nP(Am|B)??????kkn?keCp(1?p)P(B)n （2） ??n!n?k?m?k.?0,
第二章
1．同时掷两颗骰子，设随机变量X为“两颗骰子点数之和”求： （1）X的概率分布； （2）P(X?3)； （3）P(X?12) (1) P{X=2}= P{X=12}=1/36; P{X=3}= P{X=11}=1/18; P{X=4}= P{X=10}=1/12; P{X=5}= P{X=9}=1/9;
P{X=6}= P{X=8}=5/36; P{X=7}=1/6
(2) P{X=2}=1/36; P{X=3}=1/18 (3) P{X>12}=0 0?x?1?x37?2．设随机变量X的密度函数为f(x)??ax?b1?x?2，且P(0?X?)?
28?0其他?求：（1）常数a,b （2）P(解
13?X?) （3）X的分布函数F(x) 22：
3．产品有一、二、三等品及废品四种，其中一、二、三等品及废品率分别为60%，10%，20%及10%，任取一个产品检查其质量，试用随机变量X描述检查结果。 解：记X=4表示产品为废品；X=1，2，3分别指产品为一、二、三等品。 P{X=1}=0.6; P{X=2}=0.1; P{X=3}=0.2; P{X=4}=0.1 f
4．一袋中装有5只球编号1，2，3，4，5。在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中最大号码，写出随机变量X的分布律和分布函数。 解：P{X=3}=0.1; P{X=4}=0.3; P{X=5}=0.6;
?0?0.13?x?4?F(x)??
4?x?5
?0.4?x?5?1 5．设随机变量X~B(2,P),Y~B(3,P)，若P{X?1}?解
x?35，求P{Y?1} 9：
6．设X~U(1,4),求P(X?5)和P(0?X?2.5) 解：P(X?5)=1;
7．设某种电子元件的使用寿命X（单位：h）服从参数??1的指数分布，现某种仪器600
使用三个该电子元件，且它们工作时相互独立，求： （1）一个元件时间在200h以上的概率；
（2）三个元件中至少有两个使用时间在200h以上的概率。
8．设随机变量X在（0，1）服从均匀分布，求： （1）Y?e的概率密度； （2）Y??2lnX的概率密度。
X
?11?y??fY(y)??y
other?0?y?1?2?efY(y)??2?0?e
(2)
0?y???
other
9．设X~N(0,1)，求： （1）Y?2X?1的概率密度； （2）Y?|X|的概率密度。
2