第四章
1．袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，以X表示取出的3个球中最大编号，求E(X)
解：E(X)?3?133?4??5??4.5 10105?2(1?x)0?x?1，求E(X)
其它?02．设随机变量X的密度函数为f(x)??1解：E(X)??01x?2(1?x)dx?
3 3．设随机变量X~N(?,?2)，求E(|X??|)
解：?|x??|???12??e??(x??)22?2x??dx令y???2??2?y2?2????|y|edy
y2?2?2??02yedy????e?x4．设随机变量X的密度函数为f(x)???0x?0x?0，试求下列随机变量的数学期望。
（1）Y1?e?2X； （2）Y2?max{X,2}； （3）Y3?min{X,2}
???2x?x 解：（1）
E(Y1)??e01edx?.
3?2,0?x?2 （2）Y2?max{X,2}??，
x,x?2?
E(Y2)??2edx??xe?xdx?2?e?2.
022?x??x,0?x?2, （3）Y3?min{X,2}???2,x?2
E(Y3)??xedx??2e?xdx?1?e?2.
022?x?5．设随机变量X的可能取值为1，2，3，相应的概率分布为0.3 , 0.5 , .02，求： （1）Y?2X?1的期望与方差；
解：E(X)?1?0.3?2?0.5?3?0.2?1.9D(X)?E(X2)?(EX)2?1?0.3?4?0.5?9?0.2?(1.9)2?0.49 E(Y)?2E(X)?1?2.8D(Y)?4D(X)?1.966．设随机变量X~N(0,1)，试求EX、DX、E(X3)与E(X4)。
1E(X)?解：因为X~N(0,1)，所以（
2?2?????xex2?22dx?1利用分部积
分）。
1E(X)?2?
?????xex2?22dx?2?2???0xe?x22?2dx?2????0de?x22?2?;
2D(X)?E(X)?(EX)??1?2?
;1E(X)?
2?3
?????xex2?32dx?0（被积函数是奇函数）
x2?321E(X)?2?4?????xex2?42?1d?x2????x2?22???1xde?2???x2?32??xe?13???2????2x22xe
1?0?32??????xedx?3E(X2)?3.
0?x?2?ax3E(X)?2,P(1?X?3)?7．设随机变量X的分布密度为f(x)??已知，?bx?c2?x?44?0其它?求：（1）常数A，B，C的值；（2）方差D(X)（3）随机变量Y?e的期望与方差。
X856解：(1)E(X)?2?a?b?6c?2??(1)333353P(1?X?3)??a?b?c???(2)4224?????f(x)dx?1?2a?6b?2c?1??(3)
11(1)?(3)联立解得a?,b??,c?1.44??214122(2)D(X)??(x?2)f(x)dx??x(x?2)dx??(1?x)(x?2)2dx??04242?3??21411xx(3)E(Y)??ef(x)dx??xedx??(1?x)exdx?(e2?1)2??04244 ??12222x22D(Y)?E(Y)?(E(Y))??ef(x)dx?[(e?1)]??4122?e(e?1)248.已知二维随机变量(X,Y)的分布律如表：
试验证X与Y不相关，但X与Y不独立。 解：下证X与Y不相关，即E(X)E(Y)?E(XY)
1 0125 0.125 0.125 ?0.3?75?0?1 E(X)??1?) 0 E(Y)?0,E(XY 故X与Y不相关
0.?37 5 另外P(X?1,Y?1)?0.125,P(X?1)?P(Y?1)?0.375. 即P(X?1,Y?1)?P(X?1)P(Y?1)，则X与Y不独立。
9.设D(X)?25,D(Y)?36,?XY?0.4，求：D(X?Y),D(X?Y)
解：
0,4),~Y(0,4)U10．设X~N(
，且X，Y相互独立，求：E(XY),D(X?Y),D(2X?3Y)
解：
11．设X，Y相互独立，其密度函数分别为fX(x)??
?2x0?x?1，
0其它??e?(y?5)fY(y)???0y?5y?5，求E(XY)
解：
12．（1）设随机变量W?(aX?3Y)2,E(X)?E(Y)?0,D(X)?4,D(Y)?16,?XY??0.5求常数a使E(W)为最小，并求E(W)的最小值。
（2）设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且有D(X)??X,D(Y)??Y。证明当
2a2??X?Y2时，随机变量W?X?aY与V?X?aY相互独立。
22解：（1）E(W)?
E[(aX?3Y)2]?a2E(X2)?6aE(XY)?9E(Y2)
E(X2)?4,E(Y2)?16,E(XY)??4
故
E(W)?4a2?24a?144?4(a?3)2?108.
?108.
故当a?3时E(W)取最小值，minE(W) （2）因为(X,Y)是二维正态变量，而W与V分别是X,Y的线性组合，故由n维正态随机变量的性质知(W,V)也是二维正态变量。现在
22a2??X/?Y，故知有
22Cov(W,V)?Cov(X?aY,X?aY)???a? XY?0
即知W与V不相关，又因(W,V)是二维正态变量，故知W与V是相互独立的